Física – Ótica Lentes esféricas

Equação dos pontos conjugados.

Eu poderia simplesmente dizer que a equação dos pontos conjugados para as lentes tem a mesma forma que usamos nos espelhos esféricos. Mas isso não explica por que é assim, apesar de ser verdade. Vamos fazer a demonstração para que você saiba que ela não existe por mero acaso, ou por obra e graça de um iluminado que recebeu essa revelação. Há uma lógica na sua obtenção. Sabendo de onde ela vem, torna mais fácil aplicar e entender os resultados.

Observemos a figura.

A lente é convergente e delgada. O objeto está posicionado perpendicularmente ao eixo principal, no ponto N. A medida do segmento $\overline{NM}$ é a altura $o$ do objeto e $\overline{N’M’}$ é a altura da imagem formada.

Observemos os triângulos $\Delta{NMFN}$e o $\Delta{OSFO}$.Eles tem um ângulo reto e um dos ângulos agudos de cada um é oposto pelo vértice $\hat{F}$ ao outro. São pois triângulos semelhantes e seus lados homólogos são proporcionais:

${\overline{NM}\over\overline{NF}}={\overline{OP}\over\overline{OF}}$

Olhando a figura vemos que:

$\overline{NM}= o$

$\overline{OP} = \overline{N’M’} = -i $

$\overline{OF}= f $

$\overline{NF} = p – f $

Substituindo na relação acima, teremos:

${{-i}\over f}= {o\over{p – f}}$$\Leftrightarrow$$ -{i\over f}= {o\over{p – f}}$

Alternando os “meios” da razão, fica:

$ -{i\over o} = {f\over{p-f}}$ (I)

Observando os triângulos $\Delta{MROM}$ e $\Delta{M’POM’}$, vemos que também são semelhantes e seus lados proporcionais.

${\overline{PO}\over\overline{OR}} = {\overline{PM’}\over\overline{RM}}$

$ – {i\over o} = {p’\over p}$ (II)

Igualando as duas ou substituindo (II) em (I):

${p’\over p} = {f\over{p – f}}$$\Leftrightarrow$${p’\cdot{(p – f)}} ={p\cdot f}$

${p\cdot p’ – p’\cdot f} = {p\cdot f}$

Multiplicando a expressão inteira por ${1\over{p\cdot p’\cdot f}}$, teremos:

${{p\cdot p’}\over{p\cdot p’\cdot f}}-{{p’\cdot f}\over{p\cdot p’\cdot f}}={{p\cdot f}\over{p\cdot p’\cdot f}}$$\Leftrightarrow$${1\over f} – {1\over p} = {1\over p’}$

Reordenando os termos:

${1\over f} = {1\over p} + {1\over p’}$

A razão entre $-{i\over o}$, nos fornece a ampliação linear da imagem em relação ao objeto e podemos escrever a equação dos pontos conjugados.

$A = {i\over o} = – {p’\over p}$

Hora de exercitar

01. Uma lente convergente, cuja distância focal mede $f = 20,0 cm$, tem colocada diante dela um objeto real de $o = 5,0 cm$, situado à uma distância de $p = 30,0 cm$. Determinar: a) a posição da imagem em relação à lente; b) a natureza da imagem; c) o tamanho da imagem e a ampliação linear.

a) $f = 20,0 cm$

$p = 30,0 cm$.

$$\color{Maroon}{\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p’}}$$

Substituímos:

${1\over {20,0}} = {1\over {30,0}} + {1\over p’}$$\Leftrightarrow$${1\over {20,0}} – {1\over{30,0}}= {1\over p’}$

O mmc(20,0 e 30,0) = 60,0.

${{3 – 2}\over{60,0}} = {1\over p’}$$\Leftrightarrow$$p’ = 60,0 cm$

b) Como a distância da lente à imagem deu positiva, a imagem é real.

c) $O = 5,0 cm$

${I\over O} = – {p’\over p}$

${I\over{5,0}} = -{{60,0}\over {20,0}}$${i\over {5,0} = – 3$

$I = -15,0\,cm$

$A = – {p’\over p}$$\Leftrightarrow$$A =-{{75,0}\over{25,0}$

$A = – 3$

Imagem invertida e com o triplo do tamanho do objeto.

02. Se uma lente fornece imagem virtual de $i = 48,0 cm$ para um objeto de $o = 12,0 cm$, colocado à uma distância $p = 25,0 cm$, determine: a) a posição da imagem e a distância focal da lente; b) a ampliação da imagem e sua posição com relação ao objeto; c) a natureza da lente.

a) $I = 48,0\,cm$; $O = 12,0\,cm$ e $p = 25,0\,cm$.

$A = {i\over o} = – {p’\over p}$ e ${1\over f} = {1\over p} + {1\over p’}$

Substituindo: $ {i\over o} = – {p’\over p}$

$ – {{48,0}\over {12,0}} = {p’\over {25,0}}$ $\Leftrightarrow$$- {3\cdot{25,0}} = p’$

$p’ = – 75,00 cm$

A imagem encontra-se a $p’ = -75,0 cm$, antes da lente. Não esqueçamos que ela é virtual.

${1\over f} = {1\over {25,0}} – {1\over {75,0}}$

${1\over f} = {{3 – 1}\over {75,0}}$$\Leftrightarrow$${1\over f} = {2\over {75,0}}$

$ f = {{75,0}\over 2} = 37,5 cm$

b)$A = {i\over o} = – {p’\over p}$

$A = – {-{75,0}\over {25,0}} = 3$

c)a lente é convergente, sua distância focal é positiva.

03. Uma lente divergente, tem distância focal $f = – 10,0 cm$. Coloca-se diante dela um objeto de $o = 8,0 cm$, à $p = 40,0 cm$. Pergunta-se: a) podemos projetar a imagem em um anteparo? b) qual é a posição em que se formará a imagem? c) qual é a ampliação da imagem e suas características em relação ao objeto.

a)Dados: $f = -10,0 cm$; $o = 8,0 cm$ e $p = 40,0 cm$

Sendo lente divergente, a projeção de imagens é inviável, uma vez que ela só fornece imagens virtuais.

b)${1\over f} = {1\over p} + {1\over p’}$$\Leftrightarrow$${1\over{-{10,0}}} = {1\over {40,0}} + {1\over p’}$

$ – {1\over {10,0}} – {1\over {40,0}} = {1\over p’}$$\Leftrightarrow$${{- 4 – 1}\over{40,0}} = {1\over p’}$

${-5\over {40,0}} = {1\over p’}$$\Leftrightarrow$${1\over p’} = – {1\over {8,0}}$

$p’ = – 8,0 cm$

04. Uma lente conjuga uma imagem real a um objeto de $o = 16,0 cm$, que se situa a uma distância $p = 60,0 cm$. A imagem forma-se à $p’ = 30,0 cm$. Determine: a) a distância focal da lente e sua natureza; b) a natureza da imagem e seu tamanho.

Dados: $p = 60,0 cm$; $o = 16,0 cm$ e $p’ = 30,0 cm$

a)${1\over f} = {1\over p} + {1\over p’}$

${1\over f} = {1\over {60,0}} + {1\over {30,0}}$$\Leftrightarrow$${1\over f}={{1 + 2}\over{60,0}}$

${1\over f} = {3\over{60,0}}$$\Leftrightarrow$${1\over f} = {1\over{20,0}}$

$f = 20,0 cm$$\Leftrightarrow$ lente convergente, tem distância focal $f\gt 0$

b) Como $p’ \gt 0$, a imagem é real.

Sendo $A = -{p’\over p}$$\Leftrightarrow$$ A = – {{30,0}\over{60,0}}$

$A = -{1\over 2}$$\rightarrow$ imagem invertida e menor que o objeto.

Pratique você

01. Suponhamos que um objeto é colocado a $p = 60 cm$ de uma lente esférica do tipo convergente. Tal lente possui distância focal igual a $f = 20 cm$. Calcule a distância da imagem à lente, a ampliação linear da imagem em relação ao objeto e a natureza da imagem.

02. (ITA-SP) Um objeto tem altura H = 20 cm e está situado a uma distância p = 30 cm de uma lente. Esse objeto produz uma imagem virtual de altura h = 4,0 cm. A distância da imagem à lente, a distância focal e o tipo de lente são, respectivamente:

( )a) 6,0 cm; 7,5 cm; convergente;
( )b) 1,7 cm; 30 cm; divergente;
( )c) 6,0 cm; –7,5 cm; divergente;
( )d) 6,0 cm; 5,0 cm; divergente;
( )e) 1,7 cm; –5,0 cm; convergente.

03. (Fuvest-SP) A distância entre um objeto e uma tela é de 80 cm. O objeto é iluminado e, por meio de uma lente delgada posicionada adequadamente entre o objeto e a tela, uma imagem do objeto, nítida e ampliada três vezes, é obtida sobre a tela. Para que isto seja possível, a lente deve ser: ( )a) convergente, com distância focal de 15 cm, colocada a 20 cm do objeto; ( )b) convergente, com distância focal de 20 cm, colocada a 20 cm do objeto; ( )c) convergente, com distância focal de 15 cm, colocada a 60 cm do objeto; ( )d) divergente, com distância focal de 15 cm, colocada a 60 cm do objeto; ( )e) divergente, com distância focal de 20 cm, colocada a 20 cm do objeto;

04. Mediante o uso de uma lente delgada, um estudante acende uma chama numa folha de papel situada a 20 cm da lente, aproveitando a luz solar. Qual a distância focal da lente?

05. – (UNIESP-SP) – Na figura estão representados esquematicamente o perfil de uma lente esférica, de vidro, imersa no ar e a trajetória de um raio de luz que parte do ponto O no eixo principal, incide na lente e emerge passando novamente pelo mesmo eixo, no ponto I.

a) A lente da figura é convergente ou divergente? Justifique sua resposta.

b) Admitindo-se válidas as condições de astigmatismo de Gauss, calcule a distância foca dessa lente.

06. (UTF_RJ) – Um operador cinematográfico deve saber selecionar a lente de projeção adequada para que a tela fique totalmente preenchida com a imagem do filme. A largura de um quadro na fita de um filme de longa metragem é 35 mm. Para um cinema em que a tela tem 10,5 m de largura e está a 30 m da lente da máquina de projeção, determine: a) a ampliação necessária para que a tela seja totalmente utilizada; b) a distância entre a fita e a lente para que a ampliação necessária seja obtida;

c) e a distância focal da lente.

07. (UNESP-SP) – Um projetor rudimentar, confeccionado com uma lente convergente, tem o objetivo de formar uma imagem real e aumentada de um slide. Quando esse slide é colocado bem próximo do foco da lente e fortemente iluminado, produz-se uma imagem real, que pode ser projetada em uma tela, como ilustrado na figura. A distância focal é $f = 5,0 cm$ e é colocado a $p = 6,0 cm$ da lente. A imagem projetada é real e direita. Calcule:

a) a posição, em relação à lente, onde se deve colocar a tela, para se ter uma boa imagem;

b) a ampliação lateral (aumento linear transversal).

Esquema da câmara.

08. (UNESP-SP) – Uma câmara fotográfica rudimentar utiliza uma lente convergente de distância focal $f = 50 mm$ para focalizar e projetar a imagem de um objeto sobre o filme. A distância da lente ao filme é $p’= 52 mm$. A figura mostra o esboço dessa câmara. Para se obter uma boa foto é necessário que a imagem do objeto seja formada exatamente sobre o filme e o seu tamanho não deve exceder a área sensível do filme. Assim: a) Calcule a posição que o objeto deve ficar em relação ao filme. b) Sabendo-se que a altura máxima da imagem não pode exceder a 36,0 mm, determine a altura máxima do objeto para que ele seja fotografado em toda sua extensão.

09. (UNIFESP-SP) – Uma lente convergente tem uma distância focal $f = 20,0 cm$ quando o meio ambiente onde ela é utilizada é o ar. Ao colocarmos um objeto a uma distância $p= 40,0 cm$ da lente uma imagem real e de mesmo tamanho que o objeto é formada a uma distância $p’= 40,0 cm$ da lente. Quando essa lente passa a ser utilizada na água, sua distância focal é modificada e passa a ser $f_{1}=65,0 cm$. Se mantivermos o mesmo objeto à mesma distância da lente, agora no meio aquoso, é correto afirmar que a imagem será:

( )a) virtual, direita e maior;

( )b) virtual, invertida e maior;

( )c) real, direita e maior;

( )d) real, invertida e menor;

( )e) real, direita e menor.

10. (UNESP-SP) – Dispõem-se de uma tela, de um objeto e de uma lente convergente com distância focal $f = 12,0 cm$. Pretende-se, com auxílio dessa lente, obter na tela uma imagem desse objeto cujo tamanho seja 4 vezes maior que o objeto. a) A que distância da lente deverá ficar a tela? b) A que distância da lente deverá ficar o objeto?

11. (UEM) – Um objeto de tamanho igual a $o = 15,0 cm$ está situado a uma distância igual a $p = 30,0 cm$ de uma lente. Verifica-se que a lente forma uma imagem virtual do objeto cujo tamanho é igual $i = 3,0 cm$. Qual é o módulo da distância (em cm) da imagem à lente?

12. (UFPE) – Um objeto luminoso e uma tela de projeção estão separados pela distância $D = 80,0 cm$. Existem duas posições em que uma lente convergente de distância focal $f=15,0 cm$, colocada entre o objeto e a tela, produz uma imagem real na tela. Calcule a distância, em cm, entre estas duas posições.

13. (UNESP-SP) – Uma pessoa, com certa deficiência visual, utiliza óculos com lentes convergentes. Colocando-se um objeto de 0,6 cm de altura a $p = 25,0 cm$ da lente, é obtida uma imagem a $p’=100,0 cm$ da lente. Considerando que a imagem e o objeto estão localizados do mesmo lado da lente, calcule:

a) a convergência da lente, em dioptrias.

b) a altura da imagem do objeto formada pela lente.

14. (FUVEST-SP) – Uma lente L é colocada sob uma lâmpada fluorescente $\overline{AB}$ cujo comprimento é $\overline{AB} = 120,0 cm$. A imagem é focalizada na superfície de uma mesa a $p’=36,0 cm$ da lente. A lente situa-se a $p = 180,0 cm$ da lâmpada e o seu eixo principal é perpendicular à face cilíndrica da lâmpada e à superfície plana da mesa. A figura a seguir ilustra a situação. Pede-se:

a) a distância focal da lente.

b) o comprimento da imagem da lâmpada e a sua representação geométrica. Utiliza os símbolos A’ e B’ para indicar as extremidades da imagem da lâmpada.

15. (UFU-MG) – Um objeto $O$ de 1,0 cm de altura é colocado a uma distância $d = 2,0 cm$ do foco de uma lente convergente $L_{1}$ de distância focal $f = 1,5 cm$, conforme figura a seguir. Deseja-se aumentar a imagem formada por este objeto, de modo que ela atinja 6 vezes a altura objeto original. Para isso utiliza-se uma segunda lente $L_{2}$, de características idênticas à $L_{1}$.

Calcule a que distância x essa segunda lente $L_{2}$, deve ser colocada da lente $L_{1}$ para que a imagem formada seja real, direita e 6 vezes maior que o objeto original.

16. (PUC-SP) – Um toco de vela está entre duas lentes delgadas, uma divergente $L_{x}$ e outra convergente $L_{v}$, a 20 cm de cada uma, como está representado no esquema a seguir. As duas lentes tem distâncias focais de mesmo valor absoluto, 10 cm. Nessas condições, a distância entre as imagens do toco de vela, conjugadas pelas lentes vale, em cm, aproximadamente:

( )a) 6,6;

( )b) 20;

( )c) 33;

( )d) 47;

( )e) 53.

17. (UFB) – Considere duas lentes convergentes $L_{1}$ e $L_{2}$ de mesmo ponto antiprincipal, com eixos principais coincidentes e dispostas de modo que o ponto antiprincipal imagem de $L_{1}$ coincida com o ponto antiprincipal objeto de $L_{2}$. Um objeto $\overline{AB}$ é colocado antes de $L_{1}$ entre $A_{o}$ e $F_{o}$. Determine as características da imagem final formada pelo sistema de lentes.

18. (PUC_SP) – Um espelho côncavo de distância focal $f_{e} = 30,0 cm$ e uma lente convergente de distância focal $f_{l} =12,0 cm$ são dispostos coaxialmente, separados por uma distância de $D=75,0 cm$. Um objeto $\overline{AB}$ é colocado entre o espelho e a lente, a 15,0 cm da lente. Admitindo que o espelho e a lente estão sendo usados dentro das condições de Gauss, a imagem obtida por reflexão no espelho e refração na lente, é: ( )a) real, direita e a 60,0 cm da lente;

( )b) virtual, direita e a 60,0 cm da lente;

( )c) real, invertida e a 30,0 cm da lente;

( )d) real, direita e a 30,0 cm da lente;

( )e) real, invertida e a 15,0 cm da lente.

19. (UFPR_PR) – Um estudante usando uma lupa sob a luz do sol consegue queimar uma folha de papel devido à concentração dos raios do sol em uma pequena região. Ele verificou que a maior concentração dos raios solares ocorria quando a distância entre o papel e a lente era de 20,0 cm. com a mesma lupa, ele observou letras em seu relógio e constatou que uma imagem nítida delas era obtida quando a lente e o relógio estavam separados por uma distância de 10,0 cm. A partir dessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. A distância focal da lente vale $f= 20,0 cm$; 2. A imagem das letras formada pela lente é invertida e virtual; 3. A lente produz uma imagem cujo tamanho é duas vezes maior que o tamanho das letras impressas no relógio;

Assinale a alternativa correta. ( )a) somente a afirmativa 1 é verdadeira; ( )b) somente a afirmativa 2 é verdadeira; ( )c) somente a afirmativa 3 é verdadeira; ( )d) somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras; ( )e) somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

Havendo dúvidas, consulte por meio de um dos canais listados abaixo. Não há por que ficar sem saber tudo detalhadamente.

Curitiba, 07 de dezembro de 2019.

Décio Adams

[email protected]  

[email protected]

[email protected]

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celular e WhatsApp: (41) 99805-0732

Deixe uma resposta