Física – Mecânica – Movimento de queda livre

Rigorosamente falando, a queda livre de um corpo é o movimento de um corpo abandonado de uma altura qualquer acima da superfície da Terra ou outro astro do Universo, num ambiente de vácuo perfeito.

É fácil perceber que isso é pouco prático de executar em nosso dia a dia. Mas, se o corpo for de forma adequada e a altura não muito alta, teremos uma aproximação bastante razoável com experimentos realizados em condições ambientes. O corpo irá cair em movimento acelerado, até chocar-se com o solo. A aceleração é constante e denomina-se aceleração da gravidade. Ela é consequência da força de atração (peso) que a Terra exerce sobre o corpo. O valor aproximado da aceleração é ${g = 9,81 m/s²}$. No uso geral costuma-se considerar uma aproximação para ${10 m/s²}$. Em situações onde a necessidade de exatidão é menos premente, esse arredondamento não chega a causar problemas.

O movimento de queda livre, também pode ser considerado como um lançamento vertical, cuja velocidade inicial é nula. Pode-se usar um referencial situado no solo ou no ponto de lançamento, como mostram as figuras a seguir.

A seguir ampliaremos o conceito de queda livre para movimento de lançamento vertical, uma vez que se trata de um caso particular desse tipo de movimento.

Em verdade os movimentos de queda livre podem ser incluídos no tipo mais amplo de movimento variado, os lançamentos verticais.

Um corpo pode ser lançado na vertical com velocidade inicial dirigida para cima ou para baixo, ficando a partir desse momento sob ação da aceleração da gravidade. Para resolver qualquer problema dessa natureza, usaremos as mesmas equações do MRUV, apenas substituiremos as variáveis ${a}$ por ${g}$ e ${x}$ por ${y}$.

Teremos então: ${v = {v_0} + g{t}}$

${{v^2} = {{v_0}^{2}} + {2}{g}\Delta{y}}$

${y = {y_0} + {v_0}{t} +{\frac{1}{2}}{g}{t^{2}}}$

Podemos resolver qualquer situação que envolva movimento vertical sob a ação da gravidade aplicando estas equações, desde que estejamos atentos aos sinais (+/-), conforme o sentido tomado como positivo e o referencial adotado. A representação gráfica no plano cartesiano das grandezas é igual à do MRUV que já foi visto.

Exercícios resolvidos

  1. Uma esfera de chumbo cai de uma altura de ${y = 70,0 m}$, num local em que se pode considerar a aceleração da gravidade igual a ${g = 10,0 m/s²}$. Pede-se: a) qual é o tempo decorrido desde o início da queda, até o impacto no solo; b) com que velocidade o corpo atinge o solo; c) em que instante do movimento ele está na metade da altura de onde cai.

Temos: ${y = 70,0 m}$

${g = 10,0 m/s^2}$

a) ${y = {y_0} + {v_0}{t} + {\frac{1}{2}}gt^2}$

${70,0 = 0 + 0 + {\frac{1}{2}}{10}{t^2}}$

${70,0 = {5}{t^2}}$ <=> ${{t^2} = \frac{70}{5}}$

${t = \sqrt{14}}$ <=> ${t \simeq 3,74 s}$

b) ${v^2 = {v_0}~2 + {2}\cdot{10}\cdot{70}}$

${v^2 = 1400}$ <=> ${v = \sqrt{1400}}$ <=>${v \simeq 37,41 m/s}$

c) ${\frac{y}{2} = \frac{70,0}{2}m = {35,0 m}}$ ==> ${t = ?}$

${35,0 = {\frac{1}{2}}{10,}{t^2}}$ <=> ${35,0 = {5,0}{t^2}}$

${{t^2} = \frac{35,0}{5,0}}$ <=> ${t = \sqrt{7,0}}$

${t \simeq 2,65 s}$

2. Uma esfera é lançada verticalmente para cima com velocidade de ${{v_0} = 30,0 m/s}$. Se o lançamento é feito de um ponto situado à ${{y_0} = 20,0 m}$ acima do solo, sendo a aceleração da gravidade ${g = 10,0 m/s²}$, pergunto: a) quanto tempo depois do lançamento a esfera atinge sua altura máxima? b)qual é essa altura máxima? c) em que instante e com que velocidade a esfera retorna à altura inicial? d)em quanto tempo e com que velocidade a esfera atinge o solo.

Dados: ${{v_0} = 30,0 m/s}$

${g = – 10,0 m/s²}$

${{y_0} = 20,0 m}$

a) a esfera atinge a altura máxima no momento em que a velocidade se torna nula (${v = 0}$).

${v = {v_0} + {g}{t}}$ <=> ${ 0 = 30,0 + (-10,0){t}}$

${(10,0)t = 30,0}$ <=> ${ t = \frac{30,0}{10,0}}$ <=>${t = 3,0 s}$

b) Se a esfera atinge a altura máxima no instante ${t = 3,0 s}$, basta usar a equação da velocidade e calcular ${y_{max}}$

${y_{max} = {y_0} + {v_0}{t} + {\frac{1}{2}}{g}{t^²}}$

${y_{max} = 20,0 + (30,0)(3,0) + {\frac{1}{2}}{-10,0}{3,0}²}$

${y_{max} = 20,0 + 90,0 + (- 5,0)(9,0)}$ <=> ${y_{max}= 110,0 – 45,0 = 65,0 m}$

A altura máxima atingida será de 65,0 m.

c)${ y = 20,0 m}$ => ${t = ?}$ e ${v = ?}$

${y = 20,0 + {30,0}{t} + {\frac{1}{2}}{-10,0}{t^2}}$

${20,0 = 20,0 + (30,0){t} – 5,0{t^2}}$

${ 0 = (30,0)t – 5,0t^2}$ <=> ${0 = t(30,0 – 5,0t)}$

A esfera está na posição ${y = 20,0 m}$ no instante ${t = 0 s}$ e quando ${0 = 30,0 – 5,0t}$

${5,0 t = 30,0}$ <=> ${t = \frac{30,0}{5,0} = 6,0 s}$

Passará novamente na posição ${y = 20,0 m}$ depois de um intervalo ${t = 6,0 s}$. Metade gasto na subida até a altura máxima e outra metade para retornar ao ponto de partida.

Obs.: Isso nos mostra que a velocidade tem o mesmo módulo ao passar na ida e na volta no mesmo ponto.

d)${ y = 0}$ => ${t = ?}$ e ${v = ?}$

${y = 20,0 + (30,0)t + {\frac{1}{2}}{-10,0}{t^2}}$

${0 = 20,0 + (30,0) t – 5,0{t^2}}$

Temos uma equação do segundo grau. Vamos simplificar por ${5}$ e resolver.

${0 = 4,0 + (6,0) t – t^2}$

${t = \frac{6,0 (+/-)\sqrt{{{6,0}^2}-{4}\cdot{(-1,0)}\cdot{(4,0)}}}{{2}\cdot{(1,0)}}}$

${t = \frac {6 +/- \sqrt{36,0 + 16}}{2}}$

${t = \frac{6 + 7,2}{2}}$ => ${ t \simeq 6,6 s}$

${t = \frac{6 – 7,2}{2}}$ => ${t \not{=} – 0,6 s}$

O móvel só tocará no solo no instante ${t \simeq 6,6 s}$. O outro valor para ${t}$ é negativo, o que o torna inviável. Não existe tempo negativo.

${v = {v_0} + {g}\cdot{t}}$

${v = 30,0 + (-10,0)(6,6)}$ <=> ${v = 30,0 – 66,0 = -36,0 m/s}$

Exercícios por resolver

  1. Uma pedra é abandonada do alto de um edifício de ${45,0 m}$ de altura. Considerando ${g = 10,0 m/s²}$, pede-se: a) com que velocidade ela atingirá o solo? b) qual é o tempo que demora para atingir o solo? c) em que momento e com que velocidade ela passa na altura ${25,0 m}$?
  2. Um projétil é atirado para cima na vertical, partindo da posição ${{y_0} = 0}$, com velocidade inicial de ${{v_0} = 300,0 m/s}$. Supondo que ${g = 10,0 m/s²}$, determine: a) a altura em que se encontra quando sua velocidade estiver reduzida à metade da inicial; b) qual é a altura máxima que ele atinge; c) qual é o tempo gasto até a altura máxima; d) em quanto tempo ele atingirá o solo novamente;
  3. Um balão está subindo com velocidade constante de ${v = 5,0 m/s}$, quando alguém solta no ar uma pedra. Sendo a altura do balão nesse instante igual a ${{y_0} = 150,0 m}$, ${g = 10,0 m/s²}$, deseja-se saber: a) a que altura a pedra efetivamente começa a cair; b) em quanto tempo ela chega ao solo; c) qual a velocidade da pedra no instante do impacto com o solo; d) o instante e a velocidade da pedra ao passar pelo ponto de altura ${y = 100,0 m}$.
  4. Um dispositivo colocado a uma altura ${y}$, solta esferas metálicas em intervalos constantes de ${\Delta{t} = 1,0 s}$. A aceleração da gravidade local é ${g = 10,0 m\s²}$. Quando a primeira esfera toca o solo, a quinta está iniciando o movimento. Determine a altura das outras três esferas; as velocidades respectivas de cada uma nesse instante; a altura de onde elas caem e o tempo de queda de cada uma.
  5. Uma lançadeira de projéteis está colocada a uma altura ${{y_0} = 40,0 m}$. Os projéteis são lançados verticalmente para cima com velocidade inicial ${{v_0} = 80,0 m/s}$. A aceleração da gravidade é ${g = 10,0 m/s²}. Determine: a) a altura máxima que os projéteis alcançam; b) o tempo que demora para que os projéteis atinjam a altura máxima; c) em quanto tempo os projéteis retornam ao ponto de lançamento? d) com que velocidade os projéteis atingem o solo; e) qual é o tempo total gasto até chegarem ao solo.

Se ficarem dúvidas, peço a gentileza de fazer contato e tirar as dúvidas. Os meios estão listados abaixo.

Curitiba, 25 de setembro de 2019.

Décio Adams

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