Física – Ótica Geométrica – Espelhos esféricos

Os espelhos esféricos são formados de calotas esféricas. Imagine cortar uma fatia de uma bola, que não precisa ser igual a metade, aliás, muito menos da metade. Isso nos dará o formato de um espelho esférico. Dependendo do lado que for espelhado, teremos um espelho côncavo ou um espelho convexo.

A superfície espelhada fica localizada na face interna da calota, daí o fato de ser um espelho esférico côncavo. A área de formado circular destacada em amarelo, representa o ângulo de abertura do espelho.
No espelho esférico convexo a superfície da calota que recebe tratamento para tornar-se especular, é a externa, de onde lhe vem a denominação.

Tanto os espelhos côncavos como os convexos, se usarmos as suas bordas para obter imagens, estas, via de regra sofrem distorções. Estas distorções costumam ser denominadas aberrações esféricas, que são tanto de forma como de cor.

Antes de mais nada vamos ver algumas características próprias dos espelhos esféricos, quanto aos raios de luz que incidem e são refletidos. Observando as figuras mostradas acima, pode-se observar que o Centro e o Foco dos espelhos côncavos ficam situados antes do espelho. Isso dá ao foco a denominação de foco real. Já no espelho convexo, o centro e o foco ficam depois do espelho, de modo que o foco recebe a denominação de foco virtual. Essa distinção é devida ao fato de que no côncavo, quem passa pelo foco, são os próprios raios de luz, refletidos ou incidentes. No convexo os raios são refletidos, sendo que o foco é determinado pelos prolongamentos desses raios refletidos.

Um físico importante, de nome Gauss, estudando os espelhos esféricos, observou alguns fatos notáveis. Esses fatos são:

  1. O raio luminoso que incide sobre o espelho esférico paralelamente ao eixo principal, sofre reflexão passando pelo foco.
  2. O raio luminoso que incide sobre o espelho esférico passando pelo foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal.
  3. O raio luminoso que incide no vértice do espelho, sofre reflexão de modo simétrico em relação ao mesmo.
  4. O raio luminoso que incide no espelho plano, numa direção que passa pelo centro de curvatura, sofre reflexão sobre si mesmo (o ângulo de incidência é normal, isto é igual a 0º com a reta normal, o que é o mesmo que ser perpendicular à tangente da curva no ponto considerado.
  5. Um raio luminoso que passe pelo centro de curvatura ${C}$, vértice ${V}$, é coincidente com o que denominamos eixo principal. Qualquer reta que passe pelo centro e intercepte a calota do espelho em um ponto qualquer é um eixo secundário e determinará um foco secundário.

Formação de imagens nos espelhos côncavos

A imagem fica real, invertida, menor que o objeto, situada entre o foco e o centro de curvatura do espelho. Pode ser visualizada projetada sobre um anteparo ou seja uma superfície.

A imagem formada é real e está situada à mesma distância do vértice que o objeto. Sua visualização depende da projeção sobre um anteparo.
Percebe-se que, na medida em que o objeto se aproxima do foco, a imagem cresce e se afasta do vértice do espelho. A imagem real só pode ser vista projetada sobre um anteparo.
A imagem chegou ao infinito. Raios refletidos são paralelos e se encontram somente no infinito.
O espelho côncavo forma imagem virtual somente para objetos colocados entre o seu foco e o vértice. A imagem é maior, virtual e direita em relação ao objeto. A imagem virtual não pode ser projetada sobre um anteparo, mas pode ser visualizada diretamente no espelho.

Formação de imagens nos espelhos convexos.

A formação de imagens nos espelhos convexos é menos variada do que nos espelhos côncavos. Note que o foco e o centro de curvatura estão colocados atrás do espelho e os objetos reais não podem ser colocados atrás do espelho queremos que haja formação de imagem.

Notamos que o espelho convexo forma sempre imagem virtual para qualquer objeto real colocado diante dele. Além disso ela é menor e direita em relação ao objeto.

Leis de nitidez de Gauss

Depois que estabelecemos as figuras com a formação de imagens de objetos em espelhos esféricos, chegou o momento de estudar as chamadas Leis ou Aproximações de Gauss que nos permitem obter imagens com razoável nitidez, permitindo a aplicação dos espelhos em aplicações práticas.

1ªLei de Gauss: Para que o espelho esférico possa fornecer imagens nítidas, seu ângulo de abertura deve ser pequeno ${\leq {10º}}$.

2ª Lei de Gauss: Os raios incidentes no espelho devem ser ser paralelos ou muito pouco inclinados em relação ao eixo principal do espelho.

3ª Lei de Gauss: Os raios incidentes devem estar próximos ao eixo principal do espelho.

Traduzindo isso em desenhos teremos:

O esquema mostra uma calota cortada da esfera, destinando-se à uso como espelho côncavo ou também convexo.
Quanto mais “raso” for o espelho esférico, maior será a nitidez de sua imagem. Para isso o raio de curvatura da esfera deve ser o máximo, enquanto a calota é de tamanho reduzido.

Equação de Gauss para os espelhos esféricos

Vejamos um desenho construtivo de uma imagem e teremos a formação de triângulos semelhantes, de onde podemos deduzir a equação.

Vamos usar os triângulos semelhantes para deduzir a equação de Gauss.

Nos dois primeiros triângulos podemos escrever:

${\frac{AB}{A’B’} = \frac{p – 2f}{2f-p’}}$

${\frac{AB}{A’B’} = \frac{f}{f -(2f – p’)}}$

Igualando as duas expressões ficamos com:

${\frac{p – 2f}{2f -p’} = \frac{f}{f – 2f + p’}}$

Multiplicando ambos os membros pelo denominador do outro fica:

${{(p – 2f)}\cdot{(p’ – f)} = {f}\cdot{(2f – p’)}}$

${p\cdot{p’} – p\cdot{f} – 2p’\cdot{f} + 2f^2 = 2f^2 – p’\cdot{f}}$

Cancelando os termos simétricos e reduzindo os termos semelhantes

${p\cdot{p’} – p\cdot{f} – p’\cdot{f} = 0}$

Dividindo todos os termos por ${pp’f}$

${\frac{{p}\cdot{p’} – {p}\cdot{f} – {p’}\cdot{f}}{{p}\cdot{p’}\cdot{f}} = 0}$

${ \frac {1}{f} – \frac{1}{p’} – \frac{1}{p} = 0}$

${\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p’}}$

Temos aí a equação de Gauss para os espelhos esféricos. Ela é aplicável tanto aos espelhos côncavos quanto os convexos. Para isso bastará considerar as distâncias ${p}$, ${p’}$, ${f}$ e ${R}$ com os sinais apropriados. Quando se situam antes do espelho são positivas e depois do espelho negativas. Assim teremos:

${R\gt {0}}$ ==> espelho côncavo

${R\lt{0}}$ ==> espelho convexo

${f\gt {0}}$ ==> espelho côncavo

${f\lt{0}}$m==> espelho convexo

${p\gt{0}}$ ==> objeto real

${p’\gt{0}}$ ==> imagem real

${p\lt{0}}$ ==> objeto virtual

${p’\lt{0}}$ ==> imagem virtual.

Importante

Notamos que a imagem cresce na medida em que a posição do objeto fica mais próxima do espelho. O fato de ser invertida (de cabeça para baixo) torna sua “ampliação linear” negativa.

${A = \frac{I}{O}}$

Isso também acontece com as distâncias em relação ao vértice

${A = \frac{-p’}{p}}$

Igualando temos então

${A = \frac{I}{O} = \frac{-p’}{p}}$

Vamos fazer exercícios.

  1. Um espelho esférico côncavo, tem raio de curvatura igual a ${R = 60,0cm}$. Coloca-se um objeto retilíneo perpendicularmente ao eixo principal, a uma distância de ${ 90,0 cm}$. Determine a posição da imagem. Estabeleça as características da imagem quanto à natureza, posição, e tamanho.

Temos que: ${R = 60,0 cm}$

${ p = 90,0 cm}$

Se ${f =\frac{R}{2}}$ ==> ${f =\frac{60,0}{2} = 30,0 cm}$

Se ${\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p’}}$ <==> ${\frac{1}{30,0} = \frac{1}{90,0} + \frac{1}{p’}}$

${\frac{1}{p’} = \frac{1}{30,0} – \frac{1}{90,0}}$

${\frac{1}{p’} = \frac{{1}\cdot{3}}{90} – \frac{1}{90,0}}$

${\frac{1}{p’} = \frac{2}{90}}$ <==> ${p’ = \frac{90,0}{2}}$

${p’ = 45,0 cm}$

Observamos que a distância da imagem ao vértice do espelho é também positiva e portanto a imagem é real, será invertida e menor que o objeto, conforme vimos nas ilustrações da formação de imagens.

A ampliação linear da imagem em relação ao objeto será dada por

${ A = \frac{I}{O} = \frac{- p’}{p}}$

${A = \frac{- 45,0}{90,0}}$ <==> ${A = – \frac{1}{2}}$

2. Um espelho esférico tem raio de curvatura ${R = -40,0 cm}$. Um objeto de ${h = 16,0cm}$ de altura é colocado perpendicularmente ao eixo principal. A imagem é formada na posição ${p’ = – 18,0 cm}$ atrás do espelho. Pede-se determinar: a) a distância focal do espelho e sua natureza; b) a distância do objeto ao vértice; c) a amplição linear da imagem em relação ao objeto e o seu tamanho; d) a posição da imagem (direita ou invertida).

a) Se ${R = -40,0 cm}$ <==> ${f = \frac{-40,0}{2}}$

${f = – 20,0 cm}$ ==> espelho convexo, foco virtual.

b)${\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p’}}$

${\frac{1}{- {20,0}} = \frac{1}{p} + \frac{1}{-18,0}}$

${\frac{1}{- 20,0} – \frac{1}{- 18,0} = \frac{1}{p}}$

${\frac{1}{p}= \frac{{1}\cdot{(- 9,0)} + {1}\cdot {10,0}}{180,0}}$

${\frac{1}{p} = \frac{ – 9,0 + 10,0}{180,0}}$<==> ${p = 180,0 cm}$

c) ${A = \frac{I}{O} = \frac{-p’}{p}}$

${A = \frac{-{-18,0}}{180,0}}$ <=> ${A = \frac{1}{10}}$

A imagem terá um décimo da altura do objeto.

${A = \frac{I}{O}}$ <=> ${\frac{1}{10} = \frac{I}{16,0}}$

${\frac{I}{16,0} = \frac{1}{10}}$ <=> ${I = \frac{16,0}{10}}$ <=> ${I = 1,6 cm}$

d) a imagem é direita e tem um décimo da altura do objeto.

Exercícios para resolver

  1. Um objeto retilíneo de ${h = 30,0 cm}$ é posicionado de maneira perpendicular ao eixo principal de um espelho esférico cujo raio é ${R = 50,0 cm}$. A imagem formada é direita e mede ${45,0 cm}$ de altura. Pergunto: a) qual é a posição dessa imagem em relação ao espelho? b) qual é a ampliação da imagem?c)qual é a posição do objeto em relação ao espelho? d) o espelho é côncavo ou convexo?
  2. Um espelho esférico convexo, forma a imagem de um objeto que mede ${25,0 cm}$, num ponto situado à ${- 30,0 cm}$ atrás do vértice. Se a ampliação da imagem em relação ao objeto é ${A = \frac{1}{5}}$, determine: a)a posição do objeto em relação ao vértice do espelho; b) a distância focal do espelho; c) o raio de curvatura do espelho; d) este espelho pode fornecer imagem real para algum objeto real?
  3. Um objeto retilíneo de 12,0 cm de altura, colocado perpendicularmente ao eixo principal de um espelho esférico côncavo, têm sua imagem com altura de 36,0 cm projetada sobre um anteparo, situado a uma distância de ${p’ = 120,0 cm}$ do vértice do espelho. Determine: a) a distância do objeto ao espelho; b) a distância focal do espelho; c) o raio de curvatura do espelho; d) qual é a natureza da imagem?
  4. Coloca-se sobre o eixo principal de um espelho esférico um objeto retilíneo. A distância do objeto ao vértice do espelho é de ${p = 70,0 cm}$. A imagem forma-se à uma distância de ${p’ = 30,0 cm}$. Determine: a) a distância focal do espelho; b) a natureza do espelho; c) o raio de curvatura do espelho; d)a ampliação linear da imagem em relação ao objeto; e)faça um esboço da figura mostrando essa situação.

Havendo dúvidas, disponha de minha orientação por meio de um dos canais citados abaixo.

Curitiba, 21 de setembro de 2019

Décio Adams

[email protected]  

[email protected]

[email protected]

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celular: (41) 99805-0732

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *