Física – Mecânica

Cinemática – MRU

Como foi visto no post anterior, os movimentos podem receber diferentes classificações, dependendo do comportamento das variáveis que estão presentes e podem ser mensuradas ou avaliadas.

Denominamos assim ao movimento de qualquer móvel (corpo em movimento), que percorre uma trajetória reta com velocidade constante.

Comecemos pelo mais simples: Movimento Retilíneo Uniforme, abreviado MRU.

Consideremos uma linha reta, sobre a qual tomamos um ponto e associamos a ele o número 0 (zero) e denominamos esse ponto de origem. As posições do móvel no decorrer do tempo serão indicadas tomando a origem por referência. Isso determina a existência de duas semi-retas. É possível percorrer essa reta em dois sentidos e iremos adotar um deles como progressivo e o outro como retrógrado. Ao primeiro associaremos o sinal (+) e ao segundo o sinal (-).

A reta representativa da trajetória é infinita nos dois sentidos. O móvel pode percorre-la tanto em um quanto em outro sentido. O movimento pode ser progressivo (+) e retrógrado (-)

Se um móvel estiver em um ponto ${ X_0}$,

num instante de tempo ${t_0}$

e em outro ponto ${X}$,

num instante ${t}$,

teremos que ele percorreu a distância

${(X – X_0) = \Delta{X}}$, no intervalo de tempo

${(t – t_0) = \Delta{t}}$.

Se for verificado que ele percorreu distâncias iguais em tempos iguais, sua velocidade será constante e poderemos escrever:

${V = {(X -X_0)}/{(t – t_0)}}$

${V = {\Delta{X}/{\Delta{t}}}}$

A velocidade nos informa qual foi o deslocamento realizado na unidade de tempo.

Sempre que definimos uma nova grandeza, é imperioso estabelecer as unidades em que ela será medida. Sendo a velocidade obtida pela divisão entre o deslocamento e o intervalo de tempo, a unidade de velocidade será igual à razão entre a unidade de comprimento e a unidade de tempo.

No sistema SI: ${\Delta{X}}$ ==> medido em metros ${m}$;

${\Delta{t}}$ ==> medido em segundos ${s}$

${v = m/s}$

${v = {m\cdot{s^-{1}}}}$

No sistema técnico (antigo MKGfS): as unidades de deslocamento e tempo são as mesmas e portanto

${v = m/s}$

${v = {m}\cdot{s^-{1}}}$

No sistema CGS: ${\Delta{X}}$ ==> medido em centímetros ${cm}$;

${\Delta{t}}$ ==> medido em segundos ${s}$

${v = {cm}/s}$

${v = {cm}\cdot{s^{-1}}}$

OBS.: O sistema CGS caiu em desuso na grande maioria das situações, após o surgimento do SI. Apenas em alguns casos específicos é utilizado.

É comum encontrar algumas outras unidades de velocidade como é o caso do automobilismo: grande parte da humanidade usa o km/h; alguns países de língua inglesa usam o a milha/h e assim poderíamos citar uma infinidade de unidades usadas por grupos limitados de pessoas e em determinadas circunstâncias.

Defrontamo-nos com mais frequência com o km/h. Isso torna importante sabermos como proceder para converter essa unidade para as unidades do SI e demais. Para isso basta lembrarmos que:

${1 km = {10}^3 m}$

${1h = 60 min = 60×60 s = 3600s}$

${\frac{1km}{1h} = \frac{{10}^3}{3600 s}}$ => dividindo tudo por ${{10}^3}$ fica:

${1 km/h = \frac{1}{3,6} m/s}$

A partir da expressão da velocidade podemos obter uma equação que denominamos de equação horária do MRU. Seja: ${v = {\Delta{X}\over{\Delta{t}}}}$

${\Delta{X}= {v \cdot {\Delta{t}}}}$

Substituindo ${\Delta{X}}$ por

${X – X_0}$, ficamos com:

${(X – X_0) = {v\cdot {\Delta{t}}}}$

${X = Xo + {v \cdot{\Delta{t}}}}$

Via de regra o tempo inicial é considerado igual a zero ${t_0 = 0}$, o que deixaria a expressão

${\Delta{t} = {(t – t_0)} = t}$, dando à equação horária a forma que normalmente é usada:

${X = X_0 + {v \cdot{ t}}}$

Lembrando do estudo de funções na matemática, vemos que a equação horária do MRU é uma função do primeiro grau. Vamos comparar?

${y = {a\cdot {x}} + b}$ <==>${ y = b + {a\cdot{x}}}$

${X = X_0 + {v \cdot{ t}}}$

A representação gráfica de ${X = f(t)}$, resultará em uma reta.

Esta reta pode ser ascendente (movimento progressivo) e descendente (movimento retrógrado). ${X_0}$ é o termo independente e indica o ponto em que a reta irá cortar o eixo das ordenadas.

${v}$ é o coeficiente do termo em ${t}$ e por isso representa o coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo entre a reta e o eixo representativo do tempo.

${v = {{X – X_0}\over {t – t_0}}}$ <==> ${ v = {\Delta{X}}\cdot {\Delta{t}}}$

A representação gráfica de ${v = f(t)}$, no MRU, será uma reta paralela ao eixo das abcissas ${t}$. Acima da origem para os movimentos progressivos ${(v>0)}$ e abaixo da origem para os movimentos retrógrados ${(v<0)}$.

Sendo a velocidade constante o gráfico resulta em uma reta paralela ao eixo dos tempos (abcissas). Para um intervalo de tempo qualquer, a reta determina uma área que representa o módulo do deslocamento realizado no intervalo.

Num gráfico de ${v = f(t)}$ (velocidade em função do tempo), a área entre a reta e o eixo das abcissas, para um intervalo de tempo ${\Delta{t} = (t – t_0)}$ representará o deslocamento do móvel nesse intervalo.

Exercícios resolvidos

  1. Um móvel no momento inicial está na posição ${X_0 = 15,0 m}$ e se move com velocidade ${v = {3,0} m/s}$. Determine a posição do mesmo nos instantes ${t = {5,0} s}$; ${t = {8,0} s}$; ${t = {12,0} s}$. Represente graficamente o movimento num plano cartesiano ${x = f(t)}$. Trace também a reta representativa da velocidade em função do tempo, determinando o deslocamento entre os instantes ${t = {5,0}s}$ e ${ t = {12,0}s}$.
  • ${X = X_0 + {v} \cdot {t}}$
  • ${X_0 = 15,0 m}$
  • ${v = 3,0 m/s}$
  • ${X = ?}$ quando ${t = 5,0 s}$
  • ${X = 15,0 + {3,0}\cdot {5,0}}$
  • ${X = 15,0 + 15,0 = 30 m}$
  • ${X = ?}$ para ${t = 8,0s}$
  • ${X = 15,0 + {3,0}\cdot{ 8,0}}$
  • ${X = 15,0 + 24,0 =39,0}$
  • ${X = ?}$ para ${t=12,0 s}$
  • ${X = 15,0 +{ 3,0}\cdot{ 12,0}}$
  • ${X = 15,0 + 36,0 = 51,0 m}$
  • A representação gráfica fica assim.
Sendo um MRU progressivo, o gráfico é uma reta ascendente.

2. Um móvel encontra-se no ponto Xo = 32,0 m, no instante to = 0, com velocidade${v= -4,0 m/s}$ Em qual instante ele irá estar na origem da trajetória, isto é sua posição será X = 0? Em que momento ele estará na posição X = -32,0 m? Construa os gráficos de ${X = f(t)}$ e ${v = f(t)}$

  • ${X_0 = 32, m}$
  • ${v = – 4,0 m/s}$
  • ${X = 0}$ = para ${t = ?}$
  • ${X = Xo + {v}\cdot{t}}$
  • ${0 = 32,0 + (-4,0)\cdot{t}}$ <=> ${4,0\cdot {t} = 32,0}$
  • ${t = {{32,0}\over{4,0}} = 8,0 s}$
  • ${X = -32,0 m}$ para ${t = ?}$
  • ${X = X_0 + {v}\cdot{ t}}$
  • ${-32,0 = 32,0 + {-4,0}\cdot{t}}$
  • ${4,0\cdot{t} = 32,0 + 32,0}$
  • ${t = {{64,0}\over{4,0}} = 16 s}$

Gráfico de ${X = f(t)}$.

Esse gráfico representa um movimento retrógrado, pois a reta resultante é descendente.

Gráfico ${v = f(t)}$

Velocidade negativa, resultou em área sob o gráfico abaixo da origem. Movimento retrógrado.

3. Um móvel se dirige da posição ${Xo = -25,0 m}$, em movimento progressivo com velocidade de ${v = 7,0 m/s}$, no instante ${t =0 s}$|. Em que posição ele estará no instante ${t = 5,0 s}$? Em que instante ele irá passar pelo ponto${X = -4,0 m}$? E na posição${X = 24,0 m}$, quando irá passar? Construir o gráfico ${X = f(t)}$ e também ${v = f(t)}$, identificando o deslocamento no intervalo

  • ${X = Xo + {v}\cdot {t}}$
  • ${X_0 = -25,0 m}$
  • ${v = 7,0 m/s}$
  • ${t = 5,0 s}$ ==> ${X = ?}$
  • ${X = – 25,0 + {7,0}\cdot{ 5,0}}$
  • ${X = -25,0 + 35,0 = 10,0 m}$
  • ${X = -4,0 m}$ ==> ${t = ?}$
  • ${-4,0 = – 25,0 + {7,0}\cdot {t}}$
  • ${{25,0 – 4,0} = {7,0}\cdot{t}}$
  • ${{21,0} = {7,0}\cdot {t}}$
  • ${t = {{21,0}\over{7,0}} = 3,0 s}$
  • ${X = 24,0 m}$ => ${t = ?}$
  • ${24,0 = -25,0 + {7,0}\cdot {t}}$
  • ${{24,0 + 25,0} = {7,0}\cdot {t}}$
  • ${{49,0} = {7,0}\cdot {t}}$
  • ${t = {{49,0}\over{7,0}} = 7,0 s}$

Gráfico ${X = f(t)}$

Gráfico é uma reta ascendente e o movimento é progressivo.

Gráfico ${v = f(t)}$

Reta paralela acima da origem por ser movimento progressivo. O deslocamento entre os instantes t = 3,0 s e t = 7,0 s é igual a 28,0 m.

Exercícios a resolver

  1. Um móvel, sobre uma trajetória retilínea horizontal, encontra-se na posição inicial ${X_0 = – 8,0 m}$, no instante ${t_0 = 0}$. Sua velocidade é ${v = 4,0 m/s}$. Determine: a) sua posição no instante ${t = 6,0s}$; b) o instante em que se encontra na origem da trajetória, isto é, ${X = 0}$; c) sua posição no instante ${t = 10,0 s}$; d) construa os gráficos ${X = f(t)}$ e ${v = f(t)}$; e) classifique o movimento em função das características dos gráficos.
  2. O movimento retilíneo de um móvel é representado pelo gráfico abaixo.
Os dados fornecidos no gráfico permitem analisar as demais características do movimento, calcular a velocidade, o deslocamento a posição em diferentes instantes de tempo.

Determine, a partir do gráfico acima: a) a velocidade do móvel; b) a posição no instante ${t = 3,0 s}$; c) o deslocamento no intervalo de tempo entre os instantes ${t = 2,0s}$ e ${t = 9,0s}|$; d) classifique o movimento do móvel.

3) Um móvel em movimento retilíneo e uniforme, tem sua velocidade representada em função do tempo pelo gráfico abaixo.

Considere a área sob o gráfico entre os instantes 4,0 s e 9,0 s igual a – 20,0 m.

Determine: a) a velocidade do móvel; b) o deslocamento total do móvel desde o instante ${t = 0}$ até ${t = 9,0 s}$; c) faça o gráfico ${X = f(t)}$, considerando ${X_0 = 28,0 m}$; d) classifique o movimento.

4) Se a velocidade de um móvel é ${ v = -5,0 m/s}$, sua posição inicial é ${X_0 = 28,0 m}$ no instante ${t_0 = 0}$. Determine: a) a posição no instante ${t = 3,0s}$; b) o instante em que sua posição corresponde ao valor ${X = 7,0 m}$; c) o momento em que sua posição é ${X = 0}$; d)faça os gráficos ${X = f(t)}$ e ${v = f(t)}$, classificando o movimento do móvel.

5) Um móvel parte da posição ${X_0 = -18,0 m}$, com velocidade ${v = 4,0 m/s}$. Pede-se: a) o instante em que ele passa na origem (${X = 0}$); b) a posição do móvel no instante ${t = 8,0s}$; c) o deslocamento no intervalo entre o instante ${ t = 0}$ e ${t = 8,0 s}$; d) faça os gráficos ${X =f(t)}$ e ${v = f(t)}$, dando a classificação do movimento desse móvel.

6)Um móvel percorre trajetória reta com velocidade constante de 72,0 km/h e no instante inicial (${{t_0} =0}$ ele se encontra na posição ${{X_0} = 5,0 m}$. Qual será a posição em que ele estará no instante ${t = 4,0s}$? Em que momento ele estará na posição ${X = 145,0 m}$

Se existirem dúvidas, faça contato por um dos canais abaixo citados para esclarecimentos. Não as guarde para si. Se tiver exercícios sobre o mesmo assunto, passados no seu colégio ou curso, pode igualmente perguntar. Basta mandar o enunciado ou os dados para que se possa analisar.

Curitiba, 12 de setembro de 2019.

Décio Adams

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