Física – Mecânica

Movimento retilíneo uniformemente variado – MRUV

Parte I

Quando o movimento varia sua velocidade, aparece uma nova grandeza, que é denominada aceleração.

A aceleração mede a variação da velocidade na unidade de tempo.

Vamos ver como isso acontece. Suponhamos que um móvel tenha uma velocidade ${V_0 = 5,0 m/s}$, num instante ${t_0}$ e depois de um intervalo ${\Delta {t} = 4,0 s}$, ele passou a ter velocidade de ${V = 17,0 m/s}$. Se o aumento de velocidade foi constante, isto é, aumentou igualmente a cada segundo transcorrido, estamos diante de uma aceleração constante. Podemos então escrever que:

  • ${a = {{V – {V_0}}\over\Delta{t}}}$ <=> ${{a}\cdot\Delta{t} = {{V} – {V_0}}}$
  • Invertendo a ordem dos membros: ${V – {V_0} = {a}\cdot{\Delta{t}}}$
  • ${V = {V_0} +{a}\cdot\Delta{t}}$
  • se ${V_0 = 0}$ e ${t_0 = 0}$ ==> ${a = {{V}\over{t}}}$ <=> ${V = {{a}\cdot{t}}}$

Os sinais da aceleração e da velocidade inicial (+-) nos darão a classificação do movimento em acelerado ou retardado. No movimento acelerado o módulo da velocidade aumenta e no movimento retardado o módulo da velocidade diminui.

Fica fácil deduzir que, se os sinais da aceleração e velocidade forem iguais, o módulo aumenta e o movimento é acelerado. Se os sinais forem opostos, o módulo da velocidade diminui e o movimento será retardado.

A representação gráfica da velocidade em função do tempo ${{V} = f(t)}$, no MRUV é uma linha reta, pois podemos observar que a equação horária da velocidade ${V = {V_0} + {a}\cdot{t}}$ é uma função do primeiro grau (linear). Nesta reta o ${V_0}$ é o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas ${V}$ e recebe o nome de coeficiente linear ou termo independente. A aceleração por sua vez é igual ao coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que ela forma com o eixo das abcissas ou eixo do tempo (${t}$)

Neste gráfico a velocidade no início é negativa e aceleração positiva, o que torna o movimento retardado retrógrado. Depois do instante ${t_0}$, a velocidade se torna positiva e o movimento passa a ser acelerado progressivo.

A representação gráfica da aceleração em função do tempo (${{a} = f(t)}$), resulta em uma reta paralela ao eixo das abcissas (${t}$). Essa reta pode estar acima ou abaixo desse eixo, o que significa que será ou positiva (${+}$) ou negativa (${-}$), conforme esteja acima ou abaixo.

Aceleração positiva, reta paralela ao eixo de t, acima da origem. Variação positiva da velocidade.

Gráfico é reta paralela ao eixo do t, abaixo da horizontal, significando aceleração negativa. A variação da velocidade é negativa.

A área determinada por essa reta e o eixo, para um intervalo de tempo ${\Delta{t}}$, é igual à variação da velocidade ${{V – V_0} =\Delta{V}}$, ocorrida nesse intervalo. Se a variação for positiva (${+}$) o movimento será acelerado, se for negativa (${-}$) o movimento será retardado.

Unidades de aceleração.

No SI (Sistema Internacional de Unidades) e no sistema técnico (MKgfS):

${a = \frac{V}{t}}$ ==>${a = \frac{m/s}{s} = m/s²}$

No sistema CGS (centímetro, grama, segundo) pouco usado.

${a = \frac{V}{t}}$ ==> ${a = \frac{cm/s}{s} = cm/s²}$

Exercícios resolvidos

  1. Um móvel tem velocidade ${V_0 = 7,0 m/s}$, no instante ${t_0 = 2,0 s}$. Se possui aceleração ${a = 2,0 m/s²}$, qual será sua velocidade no instante ${t = 6,0 s}$? Em que instante sua velocidade será igual a 23 m/s? Construa os gráficos ${v = f(t)}$ e ${a = f(t)}$, identificando onde o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado ou retardado.
  • ${v = v_0 + {a}\cdot\Delta{t}}$
  • ${v_0 = 7,0 m/s}$
  • ${a = 2,0 m/s²}$
  • ${t_0 = 2,0 s}$
  • ${t = 6,0 s}$ =>${v = ?}$
  • ${v = 7,0 + {2,0}\cdot{6,0 – 2,0}}$ <=> ${v = 7,0 + {2,0}\cdot{4,0}}$
  • ${v = 7,0 + 8,0 = 15,0 m/s}$==> ${ v = 15,0 m/s}$
  • ${v = 23,0 m/s}$ =>${t = ?}$
  • ${23,0 = 7,0 + {2,0}\cdot{t – 2,0}}$ <=> ${23,0 – 7,0 = {2,0}\cdot{t} – 4,0}$
  • ${{2,0}\cdot{t} = 16,0 + 4,0}$
  • ${t = {{20,0}\over{2,0}}}$==> ${t = 10,0s}$
O gráfico resultou em uma reta ascendente, sendo sempre positivos os sinais de a e v, o que torna o movimento sempre progressivo e acelerado.
A aceleração é positiva e por isso o gráfico é uma reta paralela ao eixo do tempo, acima da origem. O retângulo em destaque amarelo representa a variação da velocidade entre os instantes 0 s e 6,0 s. Já o retângulo em destaque laranja, representa a variação da velocidade entre os instantes 6,0 s e 8,0 s.

2. Um móvel tem velocidade inicial ${v_0 = -12,0 m/s}$, quando começa a sofrer uma aceleração em sentido contrário ${a = 3,0 m/s²}$. Pergunta-se: a) depois de quanto tempo sua velocidade será nula (${v = 0})?

  • ${v_0 = -12,0 m/s}$
  • ${a = 3,0 m/s²}$
  • ${v = 0}$ para ${t = ?}$
  • ${v = v_0 + a\cdot {t}}$
  • ${0 = -12,0 + {3,0}\cdot{t}}$ <==> ${{-3,0}\cdot{t} = – 12,0}$
  • ${t = {{-12,0}\over{- 3,0}}}$ <==> ${ t = 4,0 s}$

b) qual será sua velocidade no instante ${t = 7,0s}$ após o início da aceleração contrária?

  • ${v = v_0 + a\cdot{t}}$
  • ${a = 3,0 m/s²}$
  • ${v_0 = -12,0 m/s}$
  • ${ t = 7,0 s}$ <==> ${ v = ?}$
  • ${v = – 12,0 + {3,0}\cdot {7,0}}$ <==> ${v = -12,0 + 21,0 = 9,0 m/s}$

c)Em que instante sua velocidade será ${v = 12,0 m/s}$

  • ${v = v_0 + a\cdot{t}}$
  • ${v_0 = -12,0 m/s}$
  • ${a = 3,0 m/s²}$
  • ${v = – 12,0}$ <==> ${ t = ?}$
  • ${12,0 = -12,0 + {3,0}\cdot {t}}$ <==> ${12,0 + 12,0 = {3,0}\cdot {t}}$
  • ${24,0 = {3,0}\cdot{t}}$ <==> $ {t = {{24,0}\over{3,0}}}$
  • ${t = 8,0}$

d) após um tempo ${t = 15,0 s}$, qual será a sua velocidade?

  • ${v = v_0 + a\cdot{t}}$
  • ${v_0 = -12,0 m/s}$
  • ${a = 3,0 m/s²}$
  • ${t = 15,0 s}$ ==> ${ v = ?}$
  • ${v = -12,0 + {3,0}\cdot{15,0}}$ <==>${v = -12,0 + 45,0 = 33,0 m/s}$
  • ${ v = 33,0 m/s}$

e) em que intervalos dos itens anteriores o movimento é retardado e em quais é acelerado?

  • os sinais da velocidade e aceleração são opostos até o instante ${t = 4,0s}$ e portanto o movimento é retardado. A partir do instante ${t = 4,0 s}$ os sinais de velocidade e aceleração são iguais, portanto o movimento passa a ser acelerado.
  • construir os gráficos ${v = f(t)}$ e ${a = f(t)}$, destacando as diferentes etapas do movimento.
O gráfico resultou em uma reta ascendente, informando que o movimento é retrógrado na área destacada em cor azul, progressivo nas demais áreas (verde limão, bege e cinza).

Gráfico é uma reta paralela ao eixo dos tempos, acima da origem. As áreas destacadas em cores representam as variações da velocidade nos intervalos indicados sobre o eixo t.

3) Um móvel tem aceleração constante ${a = -5,0 m/s²}$ e a velocidade no instante ${t = 0}$ é ${Vo = 22,0 m/s}$. Determine: a) a velocidade que o móvel possui no instante ${t = 7,0 s}$; b) o instante em que sua velocidade é igual a ${ V = -22,0 m/s}$; c) a velocidade do móvel no instante ${ t = 12,0 s}$; d) represente graficamente ${V = f(t)}$ e ${a = f(t)}$, destacando os intervalos em que o movimento é progressivo, retrógrado, acelerado e retardado.

  • a)${a = – 5,0 m/s²}$
  • ${Vo = 22,0 m/s}$, para ${t = 0}$
  • ${t = 7,0 s}$
  • ${V = Vo + a\cdot{t}}$
    • ${V = {22,0} + {- 5,0}\cdot{7,0}}$ <==> ${V = 22,0 – 35,0}$
    • ${ V = -13 m/s}$
  • b) ${V = -22,0 m/s}$ ==> ${t = ?}$
    • ${-22,0 = 22,0 + {-5,0}\cdot{t}}$
    • ${{-22,0 – 22,0} = {-5,0}\cdot{t}}$
    • ${{5,0}\cdot{t} = {44,00}}$
    • ${{t} ={{44,0}\over{5,0}}}$
    • ${t = 8,8 s}$
  • c) ${t = 12,0 s}$ ==> ${V = ?}$
    • ${V = 22,0 +{-5,0}\cdot{12,0}}$
    • ${V = 22,0 – 60,0,0}$ <==> ${V = – 38,0 m/s}$
  • d)
Reta descendente nos dá um intervalo de movimento retardado progressivo e depois movimento acelerado retrógrado. A inversão de velocidade ocorre no instante ${t = 4,4 s}$

Sendo a aceleração negativa, temos uma reta paralela ao eixo dos tempos colocada abaixo da origem. Os retângulos destacados são as variações da velocidade nos diferentes intervalos de tempo. A soma dessas variações nos dá a variação total da velocidade.

Exercícios para resolver.

  1. Sendo a velocidade de um móvel no instante ${ t =0}$ igual a ${Vo = 4,0 m/s}$, com aceleração constante ${a = – 3,0 m/s²}$, determine: a) a velocidade no instante ${ t = 9,0 s}$; b) o instante em que a velocidade se torna igual a ${V = – 14,0 m/s}$; c) o instante em que o móvel para e inverte o sentido do movimento; d) faça os gráficos ${V =f(t)}$ e ${a = f(t)}$.
  2. Um móvel tem velocidade ${v = – 15,0 m/s}$ e depois de um intervalo de ${t = 6,0 s}$ a velocidade variou para ${V = 9,0 m/s}$. Determine a aceleração desse movimento; b) o instante em que a velocidade será igual ${V= 30,0 m/s}$; c) o instante em que ocorre a inversão do sentido de movimento; d) faça os gráficos ${V =f(t)}$ e ${a = f(t)}$.
  3. Com aceleração de ${a = 2,0 m/s²}$, um móvel parte do repouso e acelera até alcançar ${V = 30,0 m/s}$. Nesse instante a aceleração se inverte e começa a desacelerar na mesma proporção. Em quanto tempo ele estará novamente em repouso? Continuando com a mesma aceleração contrária, com que velocidade ele chegará ao ponto de partida no início?
  4. Com velocidade inicial de ${V = -8,0 m/s}$ e aceleração de ${a = 2,0 m/s²}$, um móvel percorre uma trajetória retilínea. Pergunta-se: a) em que instante ocorre a inversão do sentido do movimento? b) em que instante o móvel terá a velocidade ${V = 8,0 m/s}$; c) com que velocidade ele estará no instante ${t = 12,0s}$; d) em que instante ele terá uma velocidade igual a ${V = 24,0 m/s}$? e) construa os gráficos ${V =f(t)}$ e ${a = f(t)}$, fazendo a análise dos diversos intervalos quanto a ser movimento progressivo, retrógrado, acelerado e retardado.

Havendo dúvidas, faça contato comigo por um dos canais abaixo listados. Mesmo que as dúvidas sejam relativas a problemas do assunto vindos de sua escola ou curso que esteja fazendo, não precisa ficar na dúvida. Estarei disposto a auxiliar.

Curitiba, 12 de setembro de 2019.

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