Física – Mecânica, estática. Adição de vetores oblíquos.

Adição de vetores oblíquos.

  • Já vimos como adicionar vetores de mesma direção e sentido, mesma direção e sentidos opostos, vetores ortogonais, onde a solução é usar o velho conhecido Teorema de Pitágoras.
Adição de vetores oblíquos. l
Vetores oblíquos F1 e F2, em direções concorrentes.

Podemos observar que as retas que contém os segmentos formadores dos vetores $\color{navy}{\vec{F_1}}$ e $\color{navy}{\vec{F_2}}$, tem um ponto em comum, isto é se interseptam em um ponto que denominaremos de O (origem) ou ponto de aplicação.

Para iniciar o raciocínio, vamos traspôr os esses vetores sobre as suas retas suporte a partir do ponto de interseção O, formando os lados de um ângulo $\lt \widehat{AOC}$, com vértice em O. Isso é considerado como um “deslizamento” do vetor sobre a própria reta suporte ou retas paralelas, até a conicidência das origens.

Adição de vetores oblíquos. l (1)
Vetores formando um ângulo qualquer, e retas paralelas passando pelas extremidades. Formam um paralelogramo.

Depois traçamos duas retas paralelas as retas originais passando pelas extremidades A e C dos vetores. Essas se interceptam no ponto B, o vértice do paralelogramo $\widehat{OABCO}$.

Unindo os vértices opostos O e B, teremos o vetor soma $\color{navy}{\vec{F}}$, dos vetores $\color{navy}{\vec{F_1}}$ e $\color{navy}{\vec{F_2}}$. Imagine que eles representem dois deslocamentos. Se percorrermos o segmento $\color{navy}{\overline{OA}}$, depois $\color{navy}{\overline{AB}}$, chegaremos à extremidade do vetor soma. Igualmente se percorrermos o segmento $\color{navy}{\overline{OC}}$ e depois $\color{navy}{\overline{CB}}$, iremos chegar ao mesmo ponto B, extremidade do vetor soma $\color{navy}{\vec{F}}$  ou, $\color{navy}{\vec{OB}}$. Vejamos como fica nosso desenho agora.

Adição de vetores oblíquos. l (2)
Resolução gráfica da soma dos vetores F1 e F2.

 

Temos agora a solução gráfica do problema. Falta aplicar os conhecimentos de geometria e trigonometria para determinar o valor numérico do vetor soma $\color{navy}{\vec{F}}$. Note que os segmentos $\color{navy}{\overline{OC}}$ e $\color{navy}{\overline{AB}}$ são congruentes, assim como $\color{navy}{\overline{OA}}$ e $\color{navy}{\overline{BC}}$, por se tratar de lados opostos do paralelogramo.

 

Vamos traçar, a partir de B, um segmento perpendicular à reta que contém o vetor $\color{navy}{\vec{F_1}}$, no ponto $D$. Serão formados os triângulos retângulos $\color{navy}{\nabla\widehat{ODBO}}$ e  $\color{navy}{\nabla\widehat{ADBA}}$. Os ângulos $\color{navy}{\lt\widehat{COA}}$ e $\color{navy}{\lt\widehat{BAD}}$ são congruentes, pois são colaterais internos.

Adição de vetores oblíquos. l (4)
Desenvolvimento com introdução de artifícios para efeito de raciocínio.

 

Aplicamos o teorema de pitágoras ao $\color{brown}{\nabla\widehat{ODBO}}$. Temos a hipotenusa $\color{navy}{\bar{F}}$, o cateto $\color{navy}{\overline{OD}}$ formado pela soma de $\color{navy}{\vec{F_1}}$ com o segmento $\color{navy}{\overline{AD}}$ (x)  e o cateto $\color{navy}{\overline{OC’}}$ $(y)$, formando dois triângulos retângulos a saber:

  • $\color{navy}{\nabla\widehat{ODBO}}$
  • $\color{navy}{\nabla\widehat{ADBA}}$
  • $\color{navy}{F^2 = \overline{BD}^2 + {\left[\overline{F_1}+ \overline{AD}\right]}^2}$
  • $\color{navy}{F^2 = y^² + 2\cdot\overline{ F_1}\cdot \bar{x} + \bar{x}^2}$

Obtemos uma expressão com elementos introduzidos $\color{navy}{x, y}$ que precisamos eliminar. Para isso vamos aplicar agora o mesmo teorema de Pitátogas ao segundo triângulo retângulo

  • $\color{navy}{\nabla\widehat{ADBA}}$, onde a hipotenusa é o vetor $\color{navy}{\vec{F_2}}$, e os catetos são $\color{navy}{x , y}$, obtendo
    • $\color{navy}{\overline{F_2}^2 =\bar{x}^2 + \bar{y}^2 }$

A soma $\color{brown}{x² + y²}$ poderá ser substituida por $\color{navy}{\overline{F_2}²}$.

  • $\color{navy}{\bar{F}^2 =\bar{y}^² + \bar {x}^2 +2\cdot\overline{ F_1}\cdot\bar{x}}$
  • $\color{navy}{\bar{F}^2 = \overline{F_2}^2 + 2\cdot\overline{F_1}\cdot {x}}$

Observando a expressão ainda resta um $\color{navy}{x}$ que precisamos remover. Para isso recorremos à trigonometria. Ali encontramos que o “cateto adjacente a um ângulo, dividido pela hipotenusa, nos fornece o cosseno desse ângulo. Assim temos:

  • $\color{navy}{cos \alpha = \frac{\bar{x}}{\overline{F_2}}}$
  • $\color{navy}{cos \alpha\cdot \overline{F_2} = \bar{x}}$

Poderemos agora substituir $\color{navy}{x}$ na expressão e o módulo do vetor resultante expresso em função de $\color{navy}{\vec{F_1}}$, $\color{navy}{\vec{F_2}}$ e do cosseno do ângulo entre os vetores ficará assim:

  • $\color{maroon}{\bar{F}^2 = \overline{F_1}^2 + \overline{F_2}^2 + 2\cdot \overline{F_1}\cdot\overline{F_2}\cdot {cos\alpha}}$_

Agora vamos determinar a direção do vetor $\color{navy}{\vec{F}}$. Observando o ângulo $\lt\widehat{BOD}$, vemos que ele tem como cateto oposto o segmento $\color{navy}{\overline{BD} =\bar{y}}$ e $\color{navy}{\overline{OD} = \overline{F1} + \overline{AD}}$ é o cateto adjacente. Da trigonometria sabemos que o “cateto oposto dividido pelo adjacente, nos fornece a tangente do ângulo. Vamos denominar o ângulo $\color{navy}{\lt\widehat{ BOD}}$ pela letra grega $\color{navy}{\beta} e teremos:

  • $\color{navy} {tg \beta = \frac {y}{(F1) + x}}$

Substituindo $\color{navy}{x}$ na expressão por $\color{navy}{{cos\alpha}\cdot {F2}}$, temos:

  • $\color{navy}{{tg\beta} = \frac {\bar{y}}{\overline{F_1} + \overline{F_2}\cdot {cos \alpha}}}$

Resta o $\color{navy}{y}$  no numerador. Observemos no $\color{navy}{\nabla\widehat{ ADBA}}$, o lado $\color{navy}{\overline{BD} = \bar{y}}$, é cateto oposto ao ângulo e $\color{navy}{\vec{F_2}}$ é a hipotenusa. Da trigonometria vem “cateto oposto dividido pela hipotenusa, é igual ao seno do ângulo”. Então:

  • $\color{navy}{{sen\alpha } = \frac {\bar{y}}{\overline{F_2}}}$

Isolando $\color{navy}{\bar{y}}$, temos:

  • $\color{navy}{\bar{y} = {sen\alpha}\cdot \overline{F_2}}$

Sustituindo na expressão da tangente de $\color{navy}{\beta}$, temos:

  • $\color{navy}{tg\beta}  = \frac {{\overline{F_2}}\cdot{sen\alpha}}{{F1} + {F2}\cdot {cos\alpha}}$

Se nossas deduções estiverem corretas, essas fórmulas deverão ser aplicáveis para a adição de qualquer par de vetores, com qualquer ângulo entre eles. Vamos conferir.

  • Se $\color{navy}{\alpha = 0º}$, iremos encontrar na trigonometria que o $\color{navy}{coss\alpha = 1}$

Substituindo na fórmula do módulo do vetor resultante, temos:

  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}²  + \bar{F_2}² + 2\cdot\bar{F_1}\cdot\bar{F_2}\cdot cos\alpha}$
  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}²  + \bar{F_2}² + 2\cdot\bar{F_1}\cdot\bar{F_2}\cdot {1}}$

Resultou no segundo membro um trinômio quadrado perfeito, que podemos fatorar no quadrado da soma de $\bar{F_1}$ e $\bar{F_2}, ficando pois:

  • $\color{navy}{\bar{F}² = {\bar{ F_1} + \bar{F_2}}²}$

Os dois membros da equação são quadrados perfeitos e podemos extrair a raiz quadrada, ficando:

  • $\color{navy}{\bar{F} = \bar{F_1} + \bar{F_2}}$

Isso confere com o que vimos quando falamos da adição de vetores de mesma direção e sentido. O Vetor soma é a soma dos módulos dos vetores. A direção é a mesma dos vetores somados.

  •  Se o angulo $\color{navy}{\alpha = 90º}$, o $\color{navy}{sen{90º} = 1}$ e o $\color{navy}{cos {90º} = 0}$, substituindo na mesma fórmula, temos.
  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}² + \bar{F_2}² + 2\cdot\bar{F_1}\cdot\bar{F_2}\cdot cos{90º}}$
  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}² + \bar{F_2}² + 2\cdot\bar{F_1}\cdot\bar{F_2}\cdot{0}}$

Um termo multiplicado por 0(zero), é nulo e resta.

  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}² + \bar{F_2}}$²

Expressão que é o Teorema de Pitágoras aplicado para esse caso.

  •  Se o angulo $\color{navy}{\alpha = 180º}$, temos $\color{navy}{sen180º = 0}$ e $\color{navy}{cos 180º = -1}$. Vamos substituir na equação.
  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}² +  \bar{F_2}² + 2\cdot\bar{F_1}\cdot \bar{F_2}\cdot cos 180º }$
  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}² +  \bar{F_2}² + 2\cdot\bar{F_1}\cdot \bar{F_2}\cdot {-1 }}$
  • $\color{navy}{\bar{F}² = \bar{F_1}² + \bar{F_2}² – 2\cdot \bar {F_1}\cdot\bar{F_2}}$

Novamente resultou um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado no quadrado da diferença. Assim:

  • $\color{navy}{\bar{F}² = (\bar{ F_1} – \bar{F_2})²}$

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, resulta:

  • $\color{navy}{\bar{F} = \bar{F_1} – \bar{F_2}}$

O que nos dá a diferença entre os vetores de mesma direção e sentidos opostos. Dessa forma fica demonstrado que a expressão obtida acima é válida para qualquer ângulo entre dois vetores. Com certeza nos casos particulares fica mais fácil aplicar a forma simplificada. Mas se usarmos a fórmula geral obteremos o mesmo resultado.

  • Para exercitar um pouco, vamos calcular a soma dos vetores:
    • $\color{navy}{\vec{V_a} = 5 un }$ e $\color{navy}{\vec{V_b} = 10 un}$. Considere o ângulo entre eles 30º, 45º e 60º.
    • $\color{navy}{\vec{ F_1} = 6 un}$. $\color{navy}{\vec{F_2} = 8 un}$. Ângulos de 60º, 120º.
    • $\color{navy}{\vec{ M_1} = 12 un}$ e $\color{navy}{\vec{M_2} = 15 un}, para ângulos de 30º e 150º.
    • $\color{navy}{\vec{N_1} = 12 un}$ e $\color{navy}{\vec{N_2} = 16 un}$, para ângulo de 0º, 90º e 180º.

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Curitiba, 18/março/2015( Atualzado em 01 de agosto de 2016)

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