Física – Mecânica, estática. Resultante de forças ortogonais.

Resultante de forças ortogonais.

No estudo da adição de vetores, vimos que se eles são ortogonais (90º), recorremos à aplicação do Teorema de Pitágoras. Portanto se queremos determinar a resultante de duas forças concorrentes ortogonais, fazemos a mesma coisa, pois são grandezas vetoriais e as representamos graficamente por vetores.

Vejamos a resultante de das forças $\color{navy}{F_{1} = 6,0 N}$ e $\color{navy}{F_{2} = 8,0 N}$ formando entre elas um ângulo reto ($\color{navy}{\theta = 90º}$).

Aplicando a fórmula já nossa conhecida, teremos;

Forças ortogonais
Forças ortogonais.
  • $\color{olive}{{F_{R}}^2 = {F_{1}}^2 + {F_{2}}^2}$
  • $\color{navy}{{F_{R}}^2 = {(6,0)}^2 + {(8,0)}^2}$
  • $\color{navy}{{F_{R}}^2 = 36,0 + 64,0}$
  • $\color{navy}{{F_{R}}^2 = 100,00}$
  • $\color{navy}{F_{R} = \sqrt[2] {100,0}}$
  • $\color{brown}{F_{R}  = 10,0 N}$

Falta determinar a direção da força resultante.

  • $\color{olive} {{tg b} = \frac {8,0}{6,0}}$
  • $\color{navy}{{tg b} = \frac {4}{3}}$
    Podemos dizer que:
  • $\color{brown}{ b = {arc tg \frac {4}{3}}}$

A força resultante forma com a força horizontal de 6,0 N um ângulo cuja tangente é igual a 4/3.

Vamos colocar um exemplo de uma situação prática. Um sulcador agrícola, tracionado por uma parelha de bois, recebe desta uma força horizontal de 1500 N. Na direção vertical agem sobre ele a força peso de 600,0 N, além de um peso adicional colocado sobre ele de 400 N. Vamos determinar a resultante dessas duas forças de direções ortogonais.

Veja uma representação esquemática do problema.

Sulcador agrícola.
Sulcador representado esquematicamente

Temos o corpo sob a ação de três forças, sendo duas de mesma direção e sentido. Podemos representar o sistema num diagrama de forças, no par de eixos coordenados $\color{navy}{\widehat{XOY}}$. Ficando assim:

Diagrama de forças do sistema.
Diagrama das forças aplicadas no sulcador, colocado num sistema de eixos ortogonais XY.

 

As forças peso do sulcador e do peso adicional tem a mesma direção e sentido (vertical para baixo). Aplicando a adição de forças de mesma direção e sentido, resulta uma única força vertical para baixo, com módulo igual à soma dos módulos das duas forças componentes.

  • $\color{olive} {F_{y_{1}} + F_{y_{2}}  = F_{y}} $
  • $\color{navy}{F_{y} =( – 600,0) + (- 400,0)}$
  • $\color{navy}{F_{y}  = – 1000,0 N}$
Diagrama de forças parcialmente resolvido
Diagrama de forças no sulcador, parcialmente resolvido.

Agora vamos aplicar o Teorema de Pitágoras na determinação da força resultante do sistema.

  • $\color{olive}{{F_{R}}^2 ={F_{x}}^2 + {F_{y}}^2}$
  • $\color{navy}{{F_{R}}^2 = {(1500,0)}^2 + {(- 1000,0)}^2}$
  • $\color{navy}{{F_{R}}^2 = {2250000,0 + 1000000,0} = {2,25\cdot{10}^6} +{1,0\cdot{10}^6}}$
  • $\color{navy}{{F_{R}}^2  = {3,25\cdot{10}^6}}$
  • $\color{navy}{F_{R} = \sqrt[2]{3,25\cdot{10}^6}}$
  • $\color{brown}{F_{R} \simeq {1,8\cdot {10}^3}N}$

O ângulo $\color{brown}{b}$ que a resultante forma com a horizontal é abaixo dessa linha. Obedecendo à orientação dos eixos, iremos encontrar uma tangente negativa para esse ângulo. No círculo trigonométrico isso corresponde a um ângulo situado no quarto quadrante.

  • $\color{navy}{{tg b} = \frac{(-1000)}{(1500)} = \frac{-10}{15} = \frac{-2}{3} = -(2/3)}$

Teremos portanto um ângulo $\color{brown}{b = arc tg (-{2\over 3})}$. Em valores aproximados corresponde a um ângulo de aproximadamente 37º abaixo da horizontal, dirigido para direita, levando em conta que efetuamos o raciocínio considerando a força horizontal orientada da esquerda para direita.

Hora de fazer alguns exercícios.

Determinar a força resultante de sistemas com duas forças ortogonais.

  • $\color{navy}{F_{1}  = 12,0 N}$ e $\color{navy}{F_{2} = 9,0 N}$ , dirigidas para direita e para cima.
  • $\color{navy}{F_{1} = – 15,0 N}$ e $\color{navy}{F_{2} = – 20,0 N}$, dirigidas para esquerda e para baixo.
  • $\color{nacy}{F_{1} = 30,0 N}$ e $\color{navy}{F_{2} = – 40,0 N}$, dirigidas para direita e para baixo.
  • $\color{navy}{F_{1} = – 10,0 N}$ e $\color{navy}{F_{2} = 24,0 N}$, dirigidas para esquerda e para cima.

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Curitiba, 30 de março de 2015 (Revisado e atualizado em 20 de agosto de 2016)

Décio Adams

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