Física – Mecânica, Movimentos Compostos.

Um corpo pode estar animado de diferentes velocidades em diferentes direções. Isso determina diferentes formas de trajetórias, resultantes dos deslocamentos ocorridos em cada direção. O primeiro caso é o denominado lançamento horizontal.

Lançamento horizontal

O lançamento horizontal inicia-se com uma velocidade horizontal que algum dispositivo imprime ao móvel, além de ficar sob a ação da aceleração da gravidade. Dentro dos limites aceitáveis, a componente horizontal da velocidade é constante, enquanto a vertical é crescente, até o instante de atingir o solo. Isso resulta num movimento em forma de parábola, pois os deslocamentos horizontais são iguais e os verticais são crescentes com o tempo. Vejamos a figura que ilustra a situação.

Podemos representar o movimento desse corpo num plano cartesiano, sendo os deslocamentos segundo os eixos $X$ e $Y$

Neste caso os cálculos podem ser, em sua maioria, resolvidos com as equações do MRU e MRUV, conforme o eixo que estejamos visando.

A velocidade horizontal é constante: $\color{Blue}{V_{X}}$$\rightarrow$ é constante.

A velocidade vertical cresce com o tempo de acordo com a equação da velocidade do MRUV (queda livre).

$\color{Blue}{V_{Y} =- g\cdot t}$

As posições do móvel são determinadas pelas coordenadas $(X, Y)$.

$\color{Blue}{X = V_{X}\cdot t}$$\rightarrow$ MRU.

$\color{Blue}{Y = Y_{0} – \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2} }$

Aplicação.

01. Tomemos o caso de uma esfera que é lançada de um ponto situado a $Y_{0} = 20,0\,m$, com a velocidade $V_{X}= 15,0\, m\cdot{s^{-1}}$. Sendo a aceleração da gravidade local $g = 10,0\, m\cdot{s^{-2}}$, determine o tempo que o corpo demora no ar, o alcance horizontal e a velocidade com que ela atinge o solo.

O tempo gasto no movimento equivale ao movimento de queda livre de um corpo abandonado na mesma altura. Temos a posição inicial $Y_{0} =20,0\, m$ e no instante que toca o chão, a altura é $Y = 0$.

$Y = Y_{0} – \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}$

$0 = 20,0 – \frac{1}{2}\cdot{10,0}\cdot t^{2}$$\Leftrightarrow$$ -20,0 = -5\cdot t^{2}$

$t^{2} = \frac{-20,0}{-5,0}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{t^{2}} = \sqrt{4}$

$t = \pm {2,0}$

O tempo não admite sinal negativo e por isso o resultado é:

$\color{Brown}{ t = {2,0}\, s}$

O alcance será determinado usando a equação horária do MRU, para o instante determinado acima.

$X = V_{X}\cdot t$

$X = {15,0}\cdot {2,0}$$\Leftrightarrow$$X = {30,0}\, m$

$\color{Brown}{X = {30,0}\, m}$

A velocidade é composta de duas componentes. A horizontal $V_{X}$ e a vertical $V_{Y}$

$V_{Y}= – g\cdot t$

$V_{Y}= – {10,0}\cdot {2,0}$$\Leftrightarrow$$V_{Y}= {-20,0}\, m\cdot{s^{-1}}$

As duas componentes formam um ângulo reto e usaremos o Teorema de Pitágoras para chegar ao final.

$V^{2} = {V_{x}}^{2} + {V_{Y}}^{2}$$\Leftrightarrow$$V^{2}={15,0}^{2} + {- 20,0}^{2}$

$V^{2} = {225,0} + {400,0}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{V^{2}}=\sqrt{625,0}$

$\color{Brown}{V = {25,0}\, m\cdot{s^{-1}}}$

A direção da velocidade pode ser determinada pelo valor da tangente do ângulo formado abaixo da horizontal.

$tg\alpha = \frac{V_{Y}}{V_{X}}$

$tg\alpha = \frac{-20,0}{15,0}$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = -\frac{4}{3}$

$tg\alpha = – 1,333$

$\color{Brown}{\alpha = arctg (-1,333)}$

O sinal negativo significa que o ângulo fica abaixo da horizontal. A medida do ângulo é de

$\color{Blue}{\alpha \simeq – 53^{0}}$

02. Uma bola de sinuca rola sobre uma plataforma horizontal, de altura igual a $1,2\, m$ e se precipita para o chão. Se ela atinge o solo a uma distância $X = 0,98\, m$, considerando a aceleração da gravidade $g=10,0 m\cdot{s^{-2}}$, qual era a velocidade da bola ao deixar a borda da plataforma? Qual é a velocidade no momento do impacto com o chão?

Precisamos determinar o tempo gasto na queda.

$Y = Y_{0} – \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^{2}$

$0 = 1,2 – \frac{1}{2}\cdot{10,0}{t^{2}}$$\Leftrightarrow$$ -1,2 = -5\cdot t^{2}$

$t^{2} = \frac{-1,2}{-5,0}$$\Leftrightarrow$$\sqrt{t^{2}}= \sqrt{0,24}$

$\color{Green}{t \simeq 0,49\, s}$

$X = V_{X}\cdot t$$\Leftrightarrow$$0,98 = V_{X}\cdot{0,49}$

$V_{X} = \frac{0,98}{0,49}$$\Leftrightarrow$$\color{Brown}{ V_{X} = 2,0\, m\cdot{s^{-1}}}$

A velocidade será resultante da componente horizontal $V_{X}$ e $V_{Y}$.

$V_{Y} = – g\cdot t$$\Leftrightarrow$$ V_{Y}= -10,0\cdot{0,49}= -4,9 m\cdot{s^{-1}}$

$V^{2} = {V_{X}}^{2} + {V_{Y}}^{2}$$\Leftrightarrow$$V^{2}={2,0}^{2} + {-4,9}^{2}$

$V^{2} = 4,0 + 24,01 = 28,01$$\Leftrightarrow$$\sqrt{V^{2}}= \sqrt{28,01}$

$\color{Brown}{V = 5,29\, m\cdot{s^{-1}}}$

Direção da velocidade.

$tg\alpha = \frac{-4,9}{2,0}$$\Leftrightarrow$$tg\alpha = -2,45$

$\color{Blue}{\alpha = arctg{- 2,45}}$

$\color{Brown}{\alpha \simeq {-68^{0}}}$

Exercite a vontade

01. Um dispositivo lançador é disposto horizontalmente e imprime velocidade $V_{X}=50,0\, m\cdot{s^{-1}}$ e está colocado a uma altura $Y_{0}= {40,0}\,m$. Ele lança um projétil nessa posição. Pergunta-se: a) quanto tempo esse projétil fica no ar? b) qual é a componente vertical da velocidade no instante em que o projétil toca o solo? c) qual é o alcance ($X$) do projétil? d) determine a velocidade resultante ao tocar o solo. Considere a gravidade com valor $g={10,0}\, m\cdot{s{-2}}$

02. Um projétil é disparado por um fuzil com velocidade horizontal $V_{X}={800,0}\, m\cdot{s^{-1}}$. O disparo é realizado a uma altura de $y_{0}= 1,8\, m$. Considerando a aceleração da gravidade $g = 9,8\, m\cdot{s^{-2}}$, pergunta-se: a) quanto tempo dura o movimento do projétil? b) qual é a velocidade vertical no momento do impacto com o solo? c) qual é o alcance do projétil? d) qual é a velocidade resultante ao final do movimento.

03. (CEFET) – Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de $v_{X}=2m\cdot {s^{-1}}$. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de $X = 0,80\, m$ dos pés da mesa. Adote $g= 10 m\cdot {s^{-2}}$, despreze a resistência do ar e determine:

a) a altura da mesa.

b) o tempo gasto para atingir o solo.

04. (Unic-MT) – Considere uma pedra sendo lançada horizontalmente do alto de um edifício de $Y_{0}={125,0}\, m$ de altura, em um local onde o módulo da aceleração da gravidade é igual a $g=10,0\, m\cdot{s^{-2}}$ e tendo um alcance horizontal igual a $x=10,0\, m$. Nessas condições, conclui-se que a velocidade com que a pedra foi lançada, em m/s, tem que valor?

05. Um avião bombardeiro voa a uma altura de $Y_{0}=1500,0\, m$ de altura, com velocidade horizontal de $V_{X}=900,0\, km\cdot{h^{-1}}$. A aceleração da gravidade é de $g = {10,0}\, m\cdot{s^{-2}}. Em quanto tempo uma bomba solta pelo avião atinja o solo? Qual é a distância horizontal que a bomba irá percorrer até atingir o chão? Supondo a resistência do ar próxima de zero, com que velocidade a bomba chega ao chão?

06. Um dispositivo lançador horizontal é regulado para disparar bolas de sinuca, num ritmo uniforme. A altura do lançamento é $Y_{0}=45,0\, m$ e a velocidade de saída das bolas é $V_{X}= 5,0\, m\cdot{s^{-1}}$. Sendo a aceleração da gravidade $g = 10,0\, m\cdot s^{-1}$, observa-se que quando a primeira bola toca o solo, a quarta inicia seu movimento. Determine os valores dos tempos de movimento de cada bola nesse instante, a velocidade e as coordenadas de posição $(X,Y)$, de modo a determinar a trajetória parabólica das mesmas.

Se lhe restarem dúvidas, entre em contato comigo para esclarecimentos. Não custa nada, apenas o tempo de ligar ou mandar mensagem.

Curitiba, 24 de abril de 2020.

Décio Adams

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