Física – Movimento Harmônico Simples – MHS

Tal como em grande parte dos fenômenos físicos, as equações são determinadas a partir de modelos idealizados de corpos e suas características. Vejamos um disco, que pode girar em torno de um eixo horizontal. Na borda do disco fixamos uma esfera por meio de um pino. Colocamos acima do disco um sistema refletor de luz, projetando uma sombra da esfera sobre uma superfície horizontal. Enquanto o disco gira em MCU, a sombra da esfera irá executar um movimento de vai-vem sobre a superfície horizontal. O MCU é um movimento periódico, acontecendo o mesmo com a sombra da esfera. O movimento da projeção será um perfeito MHS. Dele podemos deduzir as fórmulas que iremos utilizar nos cálculos com vários tipos de osciladores.

Visualização de um MHS.

Vamos estudar o movimento dessa projeção, partindo das equações do MCU-Movimento Circular Uniforme.

Vejamos a figura esquemática que segue e apliquemos um pouco de raciocínio, na comparação do movimento circular e do movimento oscilatório da projeção. Ambos têm o mesmo período e esse é nosso ponto de partida.

Começamos por exprimir a posição $X$ em função das demais grandezas. A projeção da esfera fixa ao disco em MCU, se encontra em dado instante nesta posição.

A equação horária angular do MCU nos dá: $\color{Blue}{\phi = \phi_{0} + w\cdot t}$. Esta expressão representa, no MHS da projeção, a fase em que se encontra.

A posição da projeção para essa posição será dada por:

$\color{Brown}{X = A\times cos({wt + \phi_{0}})}$

A velocidade da projeção, será a componente da velocidade tangencial do MCU, projetada sobre o eixo $OX$ e será negativa, uma vez que tem o sentido oposto ao semi-eixo $OX$.

Do MCU temos que $\color{Blue}{v = w\times t}$.

$\color{Brown}{V = -w\times A\times sen({wt + \phi_{0}})}$

A aceleração em cada ponto do movimento harmônico simples, será a componente da aceleração do MCU, que é a aceleração centrípeta, dirigida radialmente para o centro do círculo.

$$\color{Blue}{a_{cp} = \frac{v^{2}}{R}}$$

$$\color{Blue}{a_{cp} = w^{2}\cdot R}$$

Temos que $R = A$ e então:

$$\color{Brown}{a = -w^{2}\times A\cos({wt + \phi_{0}})}$$

Relações paramétricas do MHS:

$X = Acos({wt + \phi_{0}})$$\Leftrightarrow$$\frac{X}{A} = cos({wt + \phi_{0}})$ (1)

$V = -w\cdot A\times({wt +\phi_{0}})$$\Leftrightarrow$$\frac{V}{-w\times A} = sen({wt + \phi_{0}})$ (2)

Elevando (1) e (2) ao quadrado teremos:

$$\left(\frac{X}{A}\right)^{2} = cos^{2}({wt + \phi_{0}})$$ (3)

$$\left(\frac{V}{-w\times A}\right)^{2} = sen^{2}({wt + \phi_{0}})$$ (4)

Somando membro a membro estas duas equações (3) e (4), ficamos com:

$$\color{Brown}{\left(\frac{X}{A}\right)^{2} + \left(\frac{V}{-w\cdot A}\right)^{2} = 1}$$

Amplitude, velocidade e aceleração.

Comparando $X$ e $a$, vamos ter:

$$X = A\times cos({wt + \phi{0}})$$ (5)

$$a = -w^{2}\times A\times cos({wt + \phi_{0}})$$ (6)

Substituindo (5) em (6):

$$\color{Brown}{a = -w^{2}\times x}$$

Lembrando da força elástica

Ao estudarmos a elasticidade, vimos que:

$$\color{Blue}{F = – k\times x}$$

Um corpo indeformável, perfeitamente liso é preso à extremidade de uma mola ideal (sem peso), está apoiado sobre uma superfície horizontal, perfeitamente lisa. A outra extremidade da mola está fixada a um ponto da parede. Afastando o corpo da posição de equilíbrio, provocamos uma deformação na mola. A força elástica da mola tende a restaurar a posição de equilíbrio, acelerando o corpo a partir do repouso. Ao alcançar a posição de equilíbrio a força se anula, mas o corpo adquiriu velocidade que lhe confere uma quantidade de movimento. A partir desse ponto a mola começa a sofrer uma compressão, enquanto o corpo gradualmente desacelera, até parar. Como estamos tratando de uma condição ideal, a deformação de compressão da mola será igual em módulo da elongação inicial.

O processo se repete e podemos dizer que o sistema oscila em um MHS. Na prática isso não é exato, mas se aproxima bastante, desde que seja respeitado o limite de elasticidade da mola.

Pelas expressões vistas para o MHS, podemos estabelecer:

$$ F_{restauradora} = F_{elástica}$$

$m\cdot a = k\times x$$\Leftrightarrow$$m\times w^{2}\times{\not{x}} = k\cdot {\not{x}}$

$m\cdot w^{2} = k$$\Leftrightarrow$$w^{2} = \frac{k}{m}$

$\sqrt{w^{2}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$$\Leftrightarrow$$w = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Sabemos que $w = 2\pi\times f$$\Leftrightarrow$$ w= \frac{2\pi}{T}$

Substituindo na expressão anterior, teremos:

$$\color{Brown}{f = \frac{1}{2\times\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$$\color{Brown}{T = 2\times\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$$

O mesmo acontece com um corpo suspenso pela extremidade de uma mola ideal, fixada na outra a um suporte no teto. Aqui a deformação na posição de equilíbrio é causada pelo peso do corpo. Para fazer o sistema oscilar, executando o que se aproxima de um MHS, é necessário puxar o corpo até uma posição abaixo da de equilíbrio e soltar. O comportamento será o mesmo da outra situação em que o corpo se desloca na horizontal sobre o plano perfeitamente liso. Na posição mais baixa, teremos a força elástica igual à força restauradora adicionada ao peso do corpo. A partir da posição de equilíbrio o peso fica maior que a força elástica, passando a retardar o movimento até parar. Imediatamente depois recomeça o movimento descendente, passa pelo equilíbrio mas segue devido à velocidade adquirida, até atingir novamente o ponto de elongação máxima. Podemos aplicar as mesmas equações do caso anterior.

Pêndulo simples

Denominamos pêndulo simples a um fio fino, resistente, mas inextensível, fixado em um gancho no alto, tendo a outra extremidade presa à um corpo uniforme e de massa significativa. A forma da massa deve ser de forma aerodinâmica adequada, sem ter pontos que provoquem um arrasto no ar que o circunda.

Se o pêndulo oscilar com abertura (ângulo) $\alpha \lt 10^{0}$, podemos fazer a aproximação, igualando o ângulo com o valor de seu seno. Sendo então a força restauradora igual a:

$sen\alpha \simeq \alpha = \frac{x}{L}$

$F_{rest} = mg\alpha$$\Leftrightarrow$$ F_{rest}= mg\times\frac{x}{L}$

$F_{rest} =k\times x = mg\cdot\frac{x}{L}$$\Leftrightarrow$$ k =\frac{m\times g}{L}$

$T= 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{m\times g}{L}}}$$\Leftrightarrow$$T=2\pi\sqrt{\frac{\not{m}\times L}{\not{m}\times g}}$

$$\color{Brown}{T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}$$

$$\color{Brown}{f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}}$$

Obs.: Nos anos 1980/84 eu lecionava na então UCP, no primeiro ano de engenharia civil e fazia a experiência no laboratório, usando um pêndulo com comprimentos acima de $1,5 m$. Ele oscila lentamente. Havia vários cronômetros e alunos com relógios que era também cronômetros. Medíamos o tempo de vinte oscilações para cada comprimento, variando de $10 cm$ cada vez. Isso nos permitiu determinar o valor da aceleração da gravidade com uma aproximação muito boa. Em uma ocasião chegamos muito próximo do valor $g = 9,80 m/s^{2}$. Usando comprimentos menores, fica menos preciso, pois a amplitude precisa ser muito pequena, dificultando a medição mais exato do tempo, para determinar o período.

Vamos exercitar:

01. Uma mola de constante elástica igual a$K = 10,0\,N/m$ é presa a uma massa de $100\,g$ ou $ (0,1 kg)$. Quando comprimida, essa mola passa a oscilar, descrevendo um movimento harmônico simples. Determine a frequência de oscilação do conjunto.

Dados: $$ k = 10,0\,N/m$$

$$ m = 100,0\, g = 0,1\,kg$$

$$\color{Blue}{f= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{10,0}{0,1}}$$\Leftrightarrow$$f =\frac{1}{2\pi}\sqrt{100}$

$f = \frac{1}{2\pi}\times 10,0 =\frac{5}{\pi}\,Hz$

$$\color{Brown}{f = 1,59\, Hz}$$

02. Prende-se uma mola de constante elástica igual a$k = 1,6\,N/m$ a uma massa de$m = 0,025\,kg$. Após um estímulo, o conjunto passa a oscilar em movimento harmônico simples. Determine a frequência angular do movimento ou velocidade angular do MCU equivalente.

$$\color{Blue}{k = 1,6\,N/m}$$

$$\color{Blue}{m = 0,025\,kg}$$

$$\color{Blue}{w = \sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$w = \sqrt{\frac{1,6}{0,025}} = \sqrt{64,0} = 8\,rad/s$

$$\color{Brown}{w = 8\,rad/s}$$

03. Em relação ao movimento descrito por um sistema massa-mola ideal, livre de quaisquer forças dissipativas, assinale a alternativa correta:

a) A energia cinética desse movimento permanece constante.

b) A frequência do movimento é proporcional à massa do corpo que é preso à mola.

c) O período desse movimento depende diretamente da aceleração da gravidade local.

d) Nesse tipo de sistema, a energia mecânica não se altera, uma vez que não há presença de forças dissipativas.

e) A energia potencial elástica nesse tipo de movimento só diminui

a) É falsa pois a energia cinética varia constantemente com a velocidade.

b) É falsa pois a frequência varia em sentido inverso da massa do corpo preso à mola. $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

c) Falsa pois é um sistema massa mola que oscila na horizontal e não há atrito para dissipar energia.

d) Verdadeira, pois a energia mecânica se conserva, embora esteja constantemente mudando da forma cinética para potencial e vice-versa.

e) Falsa a energia potencial elástica ora diminui ora aumenta dependendo da fase em que se encontre o oscilador.

04. Um oscilador massa-mola, cuja massa é$m = 1,0\,,kg$, oscila a partir de sua posição de equilíbrio. Sabendo que a constante elástica da mola é $k=60,0\,N/m$, calcule a velocidade angular e a frequência desse oscilador.

$$\color{Blue}{m = 1,0\,kg}$$

$$\color{Blue}{k = 60,0\,N/m}$$

$$\color{Blue}{w = \sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$$\color{Blue}{f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$w = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{60,0}{1,0}}$$\Leftrightarrow$$w ={2}\sqrt{15}$

$$\color{Brown}{w ={2}\sqrt{15}\,rad/s}$$

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{60,0}{1,0}}$$\Leftrightarrow$$f=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\sqrt{15}$

$$\color{Brown}{f = \frac{1}{\pi}\sqrt{15}\, Hz= 1,23\,Hz}$$

05. Um corpo de massa $m = 3,0\,kg$ está preso a uma mola de constante elástica $k = 200,0\,N/m$. Quando ele é deslocado da sua posição de equilíbrio, passa a deslocar-se, executando o movimento harmônico simples e atingindo uma elongação máxima na posição $\Delta X= 0,5\,m$. Determine a frequência e a amplitude desse movimento.

Dados: $$\color{Blue}{m = 3,0\,kg}$$, $$\color{Blue}{k = 200,0\,N/m}$$

$$\color{Blue}{f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$ f= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{200,0}{3,0}}$$\Leftrightarrow$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{100\cdot 2}{3,0}}$

$f = \frac{1}{2\pi}\cdot 10\sqrt{\frac{2}{3}}$$\Leftrightarrow$$f= \frac{5}{\pi}\sqrt{\frac{2}{3}}$

$$\color{Brown}{f \simeq 1,299\,Hz}$$

A amplitude é igual a elongação máxima, portanto $\color{Blue}{A = 0,5\, m}$

06. Um pêndulo simples tem comprimento $\color{Blue}{L = 1,90\,m}$ e em sua extremidade inferior temos uma esfera de chumbo, com $\color{Blue}{m = 100,0\,g}$. Sendo a aceleração da gravidade local $\color{Blue}{g=9,81\, m/s^{2}}$, determine o período de oscilação e a frequência com que ele oscila.

$$\color{Blue}{T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}$$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1,90}{9,81}}$$\Leftrightarrow$$T=2\pi\cdot {0,44}= 2,765 s$

$$\color{Brown}{T = 2,765\,s}$$

$$\color{Blue}{f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}}$$

$ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9,81}{1,90}}$$\Leftrightarrow$$f = \frac{1}{2\pi}\cdot{2,272}\simeq 0,362\,Hz$

$$\color{Brown}{f \simeq 0,362\,Hz}$$

07. Uma massa de $\color{Blue}{m = 200,0\,g}$, oscila em forma de pêndulo simples suspenso de um cabo fino, inextensível e massa desprezível, com período de $\color{Blue}{T = 3,0\,s}$. Sendo $\color{Blue}{g = 9,80\, m/s^{2}}$, determine o comprimento do cabo.

$$\color{Blue}{T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}$$

$ 3,0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,80}}$$\Leftrightarrow$$ {3,0}^{2} ={(2\pi)}^{2}\cdot\sqrt{\frac{L}{9,80}}^{2}$

$9,0 = 4,0\pi^{2}\cdot \frac{L}{9,8}$$\Leftrightarrow$${9,0}\cdot {9,80} = 4,0\pi^{2}\cdot L$

$\frac{88,2}{4\pi^{2}} = L$$\Leftrightarrow$$ L = 2,234\,m$

$$\color{Brown}{L = 2,234\,m}$$

Exercícios para resolver

01. Um pêndulo simples, de comprimento $\color{Blue}{L=1,75\,m}$, oscila com frequência $\color{Blue}{f = 0,25\,Hz}$. Determine a aceleração da gravidade no local em que ocorre essa oscilação e a frequência angular do movimento.

02. Uma mola tem constante elástica $\color{Blue}{k = 80\,N/m}$. Em sua extremidade livre está fixado um corpo indeformável, de $\color{Blue}{m= 50,0\,kg}$ e é posta a oscilar a partir de uma elongação de $\color{Blue}{x = 0,40\,m}$. Determine: a) o período de oscilação do sistema; b) a frequência de oscilação; c) a velocidade angular do MCU equivalente; d) a velocidade máxima do corpo; e) a energia potencial da mola na elongação máxima.

03. Um sistema massa mola oscila com frequência de $\color{Blue}{f= 0,5\, Hz}$. Sendo a massa do corpo de $\color{Blue}{m = 2,0\,kg}$, determine a constante elástica da mola, o período de oscilação, a energia potencial da mola na elongação máxima e a energia mecânica do sistema.

04. Um pêndulo simples de $\color{Blue}{L= 1,69\,m}$, oscila dentro do limite de $\color{Blue}{\alpha\le 10^{0}}$. Sendo a gravidade local $\color{Blue}{g=10,0\,m/s^{2}}$. Qual é o período de oscilação? Qual é a frequência com que o sistema oscila?

Havendo dúvidas, mesmo que sejam de problemas encontrados em outras fontes, faça contato para esclarecer e receber ajuda em suas dificuldades.

Curitiba, 13 de maio de 2020.

Décio Adams

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