Física – Mecânica, Movimentos Compostos.

By decioadams in Cinemática, Física, Gravitação Universal, Mecânica 24 de abril de 2020

Um corpo pode estar animado de diferentes velocidades em diferentes direções. Isso determina diferentes formas de trajetórias, resultantes dos deslocamentos ocorridos em cada direção. O primeiro caso é o denominado lançamento horizontal.

Lançamento horizontal

O lançamento horizontal inicia-se com uma velocidade horizontal que algum dispositivo imprime ao móvel, além de ficar sob a ação da aceleração da gravidade. Dentro dos limites aceitáveis, a componente horizontal da velocidade é constante, enquanto a vertical é crescente, até o instante de atingir o solo. Isso resulta num movimento em forma de parábola, pois os deslocamentos horizontais são iguais e os verticais são crescentes com o tempo. Vejamos a figura que ilustra a situação.

Podemos representar o movimento desse corpo num plano cartesiano, sendo os deslocamentos segundo os eixos $X$ e $Y$

Neste caso os cálculos podem ser resolvidos com as equações do MRU e MRUV, conforme o eixo que estejamos visando. As posições são caracterizadas por um par ordenado $(x, y)$ , sendo $x$ a abcissa horizontal e $y$ , a ordenada vertical.

A velocidade horizontal é constante: $V_{X}$ $\to$ é constante.

A velocidade vertical cresce com o tempo de acordo com a equação da velocidade do MRUV (queda livre).

$V_{Y} = - g \cdot t$

As posições do móvel são determinadas pelas coordenadas $(X, Y)$ .

$X = V_{X} \cdot t$ $\to$ MRU.

$Y = Y_{0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}$

Aplicação.

01. Tomemos o caso de uma esfera que é lançada de um ponto situado a $Y_{0} = 20, 0 m$ , com a velocidade $V_{X} = 15, 0 m \cdot s^{- 1}$ . Sendo a aceleração da gravidade local $g = 10, 0 m \cdot s^{- 2}$ , determine o tempo que o corpo demora no ar, o alcance horizontal e a velocidade com que ela atinge o solo.

O tempo gasto no movimento equivale ao movimento de queda livre de um corpo abandonado na mesma altura. Temos a posição inicial $Y_{0} = 20, 0 m$ e no instante que toca o chão, a altura é $Y = 0$ .

$Y = Y_{0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}$

$0 = 20, 0 - \frac{1}{2} \cdot 10, 0 \cdot t^{2}$ $\Leftrightarrow$ $- 20, 0 = - 5 \cdot t^{2}$

$t^{2} = \frac{- 20, 0}{- 5, 0}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{t^{2}} = \sqrt{4}$

$t = \pm 2, 0$

O tempo não admite sinal negativo e por isso o resultado é:

$t = 2, 0 s$

O alcance será determinado usando a equação horária do MRU, para o instante determinado acima.

$X = V_{X} \cdot t$

$X = 15, 0 \cdot 2, 0$ $\Leftrightarrow$ $X = 30, 0 m$

$X = 30, 0 m$

A velocidade é composta de duas componentes. A horizontal $V_{X}$ e a vertical $V_{Y}$

$V_{Y} = - g \cdot t$

$V_{Y} = - 10, 0 \cdot 2, 0$ $\Leftrightarrow$ $V_{Y} = - 20, 0 m \cdot s^{- 1}$

As duas componentes formam um ângulo reto e usaremos o Teorema de Pitágoras para chegar ao final.

$V^{2} = {V_{x}}^{2} + {V_{Y}}^{2}$ $\Leftrightarrow$ $V^{2} = {15, 0}^{2} + {- 20, 0}^{2}$

$V^{2} = 225, 0 + 400, 0$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{V^{2}} = \sqrt{625, 0}$

$V = 25, 0 m \cdot s^{- 1}$

A direção da velocidade pode ser determinada pelo valor da tangente do ângulo formado abaixo da horizontal.

$t g α = \frac{V_{Y}}{V_{X}}$

$t g α = \frac{- 20, 0}{15, 0}$ $\Leftrightarrow$ $t g α = - \frac{4}{3}$

$t g α = - 1, 333$

$α = a r c t g (- 1, 333)$

O sinal negativo significa que o ângulo fica abaixo da horizontal. A medida do ângulo é de

$α ≃ - 53^{0}$

02. Uma bola de sinuca rola sobre uma plataforma horizontal, de altura igual a $1, 2 m$ e se precipita para o chão. Se ela atinge o solo a uma distância $X = 0, 98 m$ , considerando a aceleração da gravidade $g = 10, 0 m \cdot s^{- 2}$ , qual era a velocidade da bola ao deixar a borda da plataforma? Qual é a velocidade no momento do impacto com o chão?

Precisamos determinar o tempo gasto na queda.

$Y = Y_{0} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}$

$0 = 1, 2 - \frac{1}{2} \cdot 10, 0 t^{2}$ $\Leftrightarrow$ $- 1, 2 = - 5 \cdot t^{2}$

$t^{2} = \frac{- 1, 2}{- 5, 0}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{t^{2}} = \sqrt{0, 24}$

$t ≃ 0, 49 s$

$X = V_{X} \cdot t$ $\Leftrightarrow$ $0, 98 = V_{X} \cdot 0, 49$

$V_{X} = \frac{0, 98}{0, 49}$ $\Leftrightarrow$ $V_{X} = 2, 0 m \cdot s^{- 1}$

A velocidade será resultante da componente horizontal $V_{X}$ e $V_{Y}$ .

$V_{Y} = - g \cdot t$ $\Leftrightarrow$ $V_{Y} = - 10, 0 \cdot 0, 49 = - 4, 9 m \cdot s^{- 1}$

$V^{2} = {V_{X}}^{2} + {V_{Y}}^{2}$ $\Leftrightarrow$ $V^{2} = {2, 0}^{2} + {- 4, 9}^{2}$

$V^{2} = 4, 0 + 24, 01 = 28, 01$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{V^{2}} = \sqrt{28, 01}$

$V = 5, 29 m \cdot s^{- 1}$

Direção da velocidade.

$t g α = \frac{- 4, 9}{2, 0}$ $\Leftrightarrow$ $t g α = - 2, 45$

$α = a r c t g - 2, 45$

$α ≃ - 68^{0}$

Exercite a vontade

01. Um dispositivo lançador é disposto horizontalmente e imprime velocidade $V_{X} = 50, 0 m \cdot s^{- 1}$ e está colocado a uma altura $Y_{0} = 40, 0 m$ . Ele lança um projétil nessa posição. Pergunta-se: a) quanto tempo esse projétil fica no ar? b) qual é a componente vertical da velocidade no instante em que o projétil toca o solo? c) qual é o alcance ( $X$ ) do projétil? d) determine a velocidade resultante ao tocar o solo. Considere a gravidade com valor $g = 10, 0 m \cdot s - 2$

02. Um projétil é disparado por um fuzil com velocidade horizontal $V_{X} = 800, 0 m \cdot s^{- 1}$ . O disparo é realizado a uma altura de $y_{0} = 1, 8 m$ . Considerando a aceleração da gravidade $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ , pergunta-se: a) quanto tempo dura o movimento do projétil? b) qual é a velocidade vertical no momento do impacto com o solo? c) qual é o alcance do projétil? d) qual é a velocidade resultante ao final do movimento.

03. (CEFET) – Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de $v_{X} = 2 m \cdot s^{- 1}$ . Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de $X = 0, 80 m$ dos pés da mesa. Adote $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ , despreze a resistência do ar e determine:

a) a altura da mesa.

b) o tempo gasto para atingir o solo.

04. (Unic-MT) – Considere uma pedra sendo lançada horizontalmente do alto de um edifício de $Y_{0} = 125, 0 m$ de altura, em um local onde o módulo da aceleração da gravidade é igual a $g=10,0\, m\cdot{s^{-2}}^$ e tendo um alcance horizontal igual a $x = 10, 0 m$ . Nessas condições, conclui-se que a velocidade com que a pedra foi lançada, em m/s, tem que valor?

05. Um avião bombardeiro voa a uma altura de $Y_{0} = 1500, 0 m$ de altura, com velocidade horizontal de $V_{X} = 900, 0 k m \cdot h^{- 1}$ . A aceleração da gravidade é de $g = 10, 0 m \cdot s^{- 2}$ . Em quanto tempo uma bomba solta pelo avião atinja o solo? Qual é a distância horizontal que a bomba irá percorrer até atingir o chão? Supondo a resistência do ar próxima de zero, com que velocidade a bomba chega ao chão?

06. Um dispositivo lançador horizontal é regulado para disparar bolas de sinuca, num ritmo uniforme. A altura do lançamento é $Y_{0} = 45, 0 m$ e a velocidade de saída das bolas é $V_{X} = 5, 0 m \cdot s^{- 1}$ . Sendo a aceleração da gravidade $g = 10, 0 m \cdot s^{- 1}$ , observa-se que quando a primeira bola toca o solo, a quarta inicia seu movimento. Determine os valores dos tempos de movimento de cada bola nesse instante, a velocidade e as coordenadas de posição $(X, Y)$ , de modo a determinar a trajetória parabólica das mesmas.

07. (Unic-MT) – Considere uma pedra sendo lançada horizontalmente do alto de um edifício de 125,0 m de altura, em um local onde o módulo da aceleração da gravidade é igual a 10 m/s² e tendo um alcance horizontal igual a 10,0 m. Nessas condições, conclui-se que a velocidade com que a pedra foi lançada, em m/s, é igual a:

( )a) 2;

( )b) 3;

( )c) 4;

( )d) 5;

( )e) 6.

08. Uma esfera de $m = 0, 5 k g$ rola sem atrito sobre a superfície de uma mesa plana a uma velocidade de $v_{x} = 2, 0 m / s$ . Sabendo que a altura dessa mesa é de $y_{o} = 0, 8 m$ , determine o alcance da bola. (Dado: $g = 10, 0 m / s^{2}$ ).

( )a) 0,8 m;

( )b) 2,4 m;

( )c) 1,6 m;

( )d) 0,4 m;

( )e) 1,2 m.

09. Considere as afirmativas seguintes acerca do movimento de lançamento horizontal, para isso desconsidere a ação da força de resistência do ar.

I – O tempo de queda de objetos lançados horizontalmente é proporcional à raiz quadrada da altura de queda.

II – O tempo de queda no lançamento horizontal depende da massa do corpo: quanto maior for essa massa, menor será o tempo de queda.

III – O tempo de queda de um corpo que se move em lançamento horizontal depende da velocidade horizontal do corpo.

IV – Na direção vertical, o movimento de um objeto lançado horizontalmente é uniformemente acelerado.

São verdadeiras:

( )a) II e III;

( )b) I e IV;

( )c) II, III e IV;

( )d) somente II;

( )e) II e IV.

10. Uma bala de canhão é disparada horizontalmente, a uma velocidade de $v_{x} = 600 m / s$ , à beira de um penhasco de $y_{o} = 800 m$ de altura. Desconsidere a resistência do ar e determine o valor aproximado do alcance horizontal dessa bala. (Dado: $g = 10 m / s^{2}$ )

( )a) 3850 m;

( )b) 1525 m;

( )c) 7590 m;

( )d) 6490 m;

( )e) 9550\,m.

11. A respeito do lançamento horizontal que ocorre livre de forças dissipativas, assinale a alternativa correta:

( )a) O alcance do projétil lançado horizontalmente depende da massa do corpo, uma vez que corpos mais massivos atingirão distâncias maiores;

( )b) A energia mecânica do objeto lançado horizontalmente aumenta a cada instante;

( )c) O tempo de queda de um objeto lançado horizontalmente não depende da altura do ponto de lançamento em relação ao chão;

( )d) No lançamento horizontal, o movimento que ocorre na direção vertical é uniformemente retardado;

( )e) Nesse tipo de lançamento, a força peso é sempre perpendicular ao deslocamento horizontal e, por isso, não realiza trabalho nessa direção.

12. (Uncisal-AL) – Num experimento, são utilizadas duas bolas de bilhar idênticas, um lançador de bolas horizontal e um ambiente com ar muito rarefeito, de maneira que os corpos em movimento apresentam resistência do ar desprezível. Por meio de sensores e fotografia estroboscópica, o experimento consiste em acompanhar o tempo de queda das duas bolas e caracterizar o tipo de movimento que elas descrevem durante a queda. As duas são colocadas numa mesma altura inicial (h), ficando a bola (B) sobre uma plataforma. A bola (A) é abandonada no mesmo instante que a bola (B) é lançada horizontalmente com velocidade V.

Assumindo que a aceleração da gravidade é constante, é correto afirmar que:

( )a) a bola (A) tem o tempo de queda menor que o tempo de queda da bola (B);

( )b) a bola (A) tem o tempo de queda maior que o tempo de queda da bola (B);

( )c) os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola (B) descreve um movimento uniforme;

( )d) as duas componentes da velocidade da bola (B) são descritas por um movimento uniforme variado;

( )e) os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola (A) descreve um movimento uniforme variado.

13. (Unic-MT)-Considere uma pedra sendo lançada horizontalmente do alto de um edifício de $y_{o} = 125, 0 m$ de altura, em um local onde o módulo da aceleração da gravidade é igual a $g = 10 0 m / s^{2}$ e tendo um alcance horizontal igual a $x_{t} = 10, 0 m$ . Nessas condições, conclui-se que a velocidade com que a pedra foi lançada, em $m / s$ é igual a:

( )a) 2;

( )b) 3;

( )c) 4;

( )d) 5;

( )e) 6.

14. Um objeto foi lançado horizontalmente do alto de um arranha-céu de $y_{o} = 320 m$ de altura, com uma velocidade de $v_{x} = 15, 0 m / s$ . Determine o alcance horizontal do objeto.

( )a) 100 m;

( )b) 120 m;

( )c) 150 m;

( )d) 130 m;

( )e) 110 m.

15. Determine o alcance horizontal, em metros, de um objeto que foi lançado horizontalmente de uma certa altura, com velocidade de $v_{x} = 10, 0 m / s$ , sabendo que o tempo de queda foi de $t_{q} = 2, 5 s$ .

( )a) 15;

( )b) 20;

( )c) 25;

( )d) 28;

( )e) 24.

16. (PUC-RJ) – Um pacote do correio é deixado cair de um avião que voa horizontalmente com velocidade constante. Podemos afirmar que (desprezando a resistência do ar):

( )a) um observador no avião e um observador em repouso no solo veem apenas o movimento vertical do objeto;
( )b) um observador no avião e um observador em repouso no solo veem apenas o movimento horizontal do objeto;
( )c) um observador no solo vê apenas um movimento vertical do objeto, enquanto um observador no avião vê o movimento horizontal e vertical;
( )d) um observador no solo vê apenas um movimento horizontal do objeto, enquanto um observador no avião vê apenas um movimento vertical;
( )e) um observador no solo vê um movimento horizontal e vertical do objeto, enquanto um observador no avião vê apenas um movimento vertical.

17. (FUVEST-SP) – Uma menina, segurando uma bola de tênis, corre com velocidade constante, de módulo igual a $V_{x} = 10, 8 k m / h$ , em trajetória retilínea, numa quadra plana e horizontal.

Num certo instante, a menina, com o braço esticado horizontalmente ao lado do corpo, sem alterar o seu estado de movimento, solta a bola, que leva $t_{q} = 0, 5 s$ para atingir o solo.

As distâncias $S_{m}$ e $S_{b}$ percorridas, respectivamente, pela menina e pela bola, na direção horizontal, entre o instante em que a menina soltou a bola ( $t_{o} = 0 s$ ) e o instante $t_{1} = 0, 5 s$ , valem:

( )a) $S_{m} = 1, 25 m$ e $S_{b} = 0 m$ ;
( )b) $S_{m} = 1, 25 m$ e $S_{b} = 1, 50 m$ ; ( )c) $S_{m} = 1, 50 m$ e $S_{b} = 0 m$ ;
( )d) $S_{m} = 1, 50 m$ e $S_{b} = 1, 25 m$ ;
( )e) $S_{m} = 1, 50 m$ e $S_{b} = 1, 50 m$ .

18. (CEFET-MG) – Três pedras são atiradas horizontalmente, do alto de um edifício, tendo suas trajetórias representadas a seguir.

Admitindo-se a resistência do ar desprezível, é correto afirmar que, durante a queda, as pedras possuem:

( )a) acelerações diferentes;
( )b) tempos de queda diferentes;
( )c) componentes horizontais das velocidades constantes;
( )d) componentes verticais das velocidades diferentes, a uma mesma altura;

( )e)N.d.a.

19. (UFSM/2013) – Um trem de passageiros passa em frente a uma estação, com velocidade constante em relação a um referencial fixo no solo. Nesse instante, um passageiro deixa cair sua câmera fotográfica, que segurava próxima a uma janela aberta. Desprezando a resistência do ar, a trajetória da câmera no referencial fixo do trem é _______________, enquanto, no referencial fixo do solo, a trajetória é ___________. O tempo de queda da câmera no primeiro referencial é ___________ tempo de queda no outro referencial.

Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas.

A – parabólica – retilínea – menor que o
B – parabólica – parabólica – menor que o
C – retilínea – retilínea – igual ao
D – retilínea – parabólica – igual ao
E – parabólica – retilínea – igual ao

20. (CEFET-CE) – Um aluno do CEFET em uma partida de futebol lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo de $γ = 60^{o}$ com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima é $v_{x m} = 20, 0 m / s$ , podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, em m/s, foi de:,

( )a) 10;
( )b) 17;
( )c) 20;
( )d) 30;
( )e) 40.

21. (CEFET-CE) – Para se posicionar frente ao gol adversário, um jogador efetua deslocamentos rápidos e sucessivos em linha reta, com módulos de 1,8 m e 2,4 m, deixando completamente para trás a defesa oponente. Para que o deslocamento resultante da bola seja de 3,0 m, o ângulo entre estes deslocamentos deve ser de:

( )a) $0^{o}$ ;
( )b) $30^{o}$ ;
( )c) $60^{o}$ ;
( )d) $90^{o}$ ;
( )e) $120^{o}$ .