Física – Dinâmica, Conservação da quantidade de movimento.

By decioadams in Dinâmica, Física, Impulso e quantidade de movimento, Mecânica 28 de março de 2020

Sistema isolado

Consideramos um sistema como sendo isolado, quando as forças externas que atuam sobre as partes inexistem, se anulam ou são insignificantes. Nestas condições as forças que atuam são aplicadas entre as partes que formam o sistema, umas sobre as outras.

Neste caso os impulsos transmitidos por uma parte sobre a outra se anulam, porém seus efeitos podem variar, uma vez que existe a influência das massas, das velocidades iniciais e outros fatores.

Vamos descrever alguns exemplos de sistemas isolados. Dois automóveis colidem. No momento da colisão e alguns segundos depois, as forças no sistema podem ser consideradas como as únicas. O impulso resultante é nulo, uma vez que as forças tem sentidos opostos.

Uma carabina dispara um projétil de $\color{Indigo}{m_{p} = 12\,g}$ ou seja $\color{Indigo}{p=1,2\times{10}^{-2}\,kg}$, que sai da boca do cano com velocidade de $\color{Indigo}{v_{p}=600,0\,m/s}$, enquanto a carabina tem uma massa de $\color{Indigo}{m_{c}=5,5\,kg}$. Estando em repouso inicialmente, a quantidade de movimento inicial do sistema é nula. Podemos dizer que a carabina impulsiona o projétil e este impulsiona a carabina em sentido contrário. As velocidades são muito diferentes por conta da diferença entre as massas e tem sentidos opostos. É um par de forças de ação e reação agindo. Depois vamos calcular essa velocidade.

Durante um jogo de sinuca, uma bola choca-se com a outra e as duas saem em diferentes direções. Isso acontece por que as forças de interação durante a colisão são oblíquas. Na colisão há uma transferência de energia entre as duas bolas.

Um avião a jato aspira uma grande quantidade de ar pelas turbinas, mistura-o com combustível e o queima. A pressão é elevada violentamente e os gases são ejetados no sentido posterior. A reação dos gases sobre o avião é que ele se movimenta para frente, permitindo sua decolagem e o voo.

Um foguete é lançado de uma plataforma espacial. Ao incendiarem-se os queimadores em seus motores, inicia-se a ejeção de um forte jato de gases e o resultado é a propulsão do foguete para cima em direção ao espaço. Em todos esses casos e muitos outros, sempre se aplica a conservação da quantidade de movimento.

O enunciado fica nestes termos:

“Em um sistema isolado, a quantidade de movimento resultante é nula.”

$\sum_{i=1}^n q_{i}= 0$

$\sum_{i_{1}}^n q_{i} = {m\times v_{1}} + {m\times v_{2}} +…+ {m\times v_{(n-1)}} + {m\times v_{n}}= 0$

Apliquemos esse princípio. Se um fuzil, cuja massa total é $\color{Indigo}{m_{1} = 6,5\,kg}$, dispara um projétil de massa $\color{Indigo}{m_{2} = 3\times{10}^{-2}\,kg}$, que sai da boca do cano com velocidade de $\color{Indigo}{v_{2} = 720,0\,m/s}$. Determine a velocidade de recuo do fuzil imediatamente após a saída do projétil do cano.

Se o disparo for efetuado com a arma em estado livre, podemos considerar o sistema arma/projétil como um sistema isolado, isto é, a resultante das forças é nula e a quantidade de movimento resultante também é nula. Assim:

$\vec{q_{1}} + \vec{q_{2}} = 0$

$m_{1}\cdot v_{1} + m_{2}\times {v_{2}} = 0$

${6,5}\times v_{1} + 3\times{10}^{-2}\times {-720,0} = 0$

${6,5}\times v_{1} – 2160\times {10}^{-2} = 0$

${6,5}\times v_{1} = 21,6$$\Leftrightarrow$$ v_{1} = \frac{21,6}{6,5}$

$$\color{Brown}{v_{1} = 3,32 m/s}$$

Vamos retomar o exemplo da carabina, citado nas considerações iniciais, onde temos que a massa do projétil é $\color{Indigo}{m_{p}= 12\,g}$, sua velocidade ao sair da boca do cano é $\color{Indigo}{v_{p} = {600,0}\,m/s}$. A massa da carabina é de $\color{Indigo}{m_{c} =5,5\,kg}$. Qual é a velocidade de recuo da carabina, no momento imediatamente após o disparo?

Sendo um sistema isolado, podemos aplicar o princípio da conservação da quantidade de movimento.

$m_{p}= 1,2\times {10}^{-2}kg$

$\vec{q_{c}} + \vec{q_{p}} = 0$

Sendo movimentos de sentidos opostos, uma das velocidades será negativa.

$m_{p}\times v_{p} + m_{c}\times v_{c} = 0$

${1,2}\times {10}^{-2}\times {600,0} + {5,5}\times v_{c} = 0$

$7,2 – {5,5}\times v_{c} = 0$$\Leftrightarrow$$ v_{c} = \frac{7,2}{5,5}$

$$\color{Brown}{v_{c}\simeq 1,31\,m/s}$$

Dois skatistas, parados sobre seus skates, tem massas $\color{INdigo}{m_{a} = {70,0}\, kg}$ e o outro $\color{Indigo}{m_{b} = {60,0}\,kg}$, incluindo-se aí as massas das pranchas e suas rodinhas. Eles se empurram mutuamente, sendo que o primeiro adquire imediatamente após o empurrão uma velocidade de $\color{Indigo}{v_{a} = 1,8\,m/s}$. Qual será a velocidade do segundo, no mesmo instante?

Com boa aproximação podemos considerar que, durante o ato de empurrar um ao outro, o sistema está isolado. Então podemos fazer:

$\vec{q_{a}} + \vec{q_{b}} = 0$

$m_{a}\times v_{a} + m_{b}\times v_{b} = 0$

$m_{b}\times v_{b} = -{m_{a}\times v{a}} $

${60,0}\times v_{b} = -{75,0}\times {-1,8}$

$v_{b} = \frac{135,0}{60,0}$$\Leftrightarrow$$v_{b} = 2,25 m/s$

$$\color{Brown}{v_{b} = 2,25 m/s}$$

Há inúmeras aplicações desse princípio de conservação. Algumas iremos usar no estudo das colisões, no próximo post.

Alguns exercícios para você treinar.

01. Um remador encosta seu pequeno barco, de $\color{Indigo}{m_{b} = 45,0\,kg}$ na beira do local em que está treinando. Dá um salto para pousar na margem e no momento em que deixa o barco ele tem velocidade de $\color{Indigo}{v_{r} = 0,80\,m/s}$. Com o salto o barco recebe impulso em sentido oposto e desliza com velocidade de $\color{Indigo}{v_{b} = 1,2\,m/s}$. Qual é a massa do remador?

02. Determine a velocidade de recuo de um canhão de duas toneladas que dispara um projétil de $\color{Indigo}{m_{p}=6\,kg}$ a uma velocidade de $\color{Indigo}{v_{p}=300\,m/s}$, imediatamente após o projétil deixar a boca do cano.

03. Uma mangueira de incêndio lança um jato de água, na razão de $\color{Indigo}{m_{a}= {10}\,kg/s}$ a uma velocidade de $\color{Indigo}{v_{a}={15,0}\,m/s}$. Qual é a força que o bombeiro precisa aplicar para segurar a mangueira em posição, impedindo que ela recue e perca a direção do jato?

04. Um barco de $\color{Indigo}{m_{b} = 5\times {10}^{3}\,kg}$, ao se por em movimento recebe um impulso de $\color{Indigo}{\vec{I} = {10}^{4} N\times s}$, nos primeiros $\color{Indigo}{\Delta t = 5,0\,s}$, fornecido pelo movimento da hélice. Qual será a velocidade do barco após esses primeiros segundos?

05. Um homem passeia apreciando o sol e a beleza da natureza, remando suavemente seu pequeno barco. A massa do barco de alumínio é de $\color{Indigo}{m_{b} = {45,0}\,kg}$. O remador tem massa de $\color{Indigo}{m_{r}={75,0}\,kg}$. Em dado momento sente vontade de nadar um pouco e ficando em pé na popa do barco, salta para água. No instante do salto ele tem velocidade de $\color{Indigo}{v_{r}=3,0\,m/s}$. Pergunta-se: Qual é a velocidade de recuo do barco, impulsionado pelo salto do remador?

06. Um canhão, inicialmente em repouso, tem massa $\color{Indigo}{m_{c} = 600\,kg}$, dispara um projétil de massa $\color{Indigo}{m_{p}=3\,kg}$ com velocidade horizontal de $\color{Indigo}{v_{p}=800\,m/s}$. Desprezando todos os atritos, determine a velocidade inicial de recuo do canhão.

07. Ao bater um pênalti, um jogador de futebol dá um chute em que a bola, de massa $\color{Purple}{m = 420\,g}$, sai com velocidade de $\color{Purple}{v = 30\,m/s}$. Supondo que o tempo de contato entre o pé do jogador e a bola seja de $\color{Purple}{\Delta t = 0,05\,s}$, determine a força que foi exercida pelo jogador sobre a bola.

08. Uma força de $\color{Indigo}{F = 5000\,N}$ é aplicada a um objeto de forma indefinida, produzindo um impulso de módulo $\color{Indigo}{I = 1000\,N.s}$. Sabendo que a força é horizontal e para a direita, determine o tempo de contato da força sobre o corpo e a direção do impulso.

( )a) 0,2 s e horizontal para a direita;

( )b) 0,4 s horizontal para a esquerda;

( )c) 0,2 s horizontal para a esquerda;

( )d) 0,6 s vertical para cima;

( )e) 0,5 horizontal para a direita.

09. Marque a alternativa correta a respeito da relação entre energia cinética e quantidade de movimento.

( )a) Tanto quantidade de movimento quanto energia cinética são grandezas escalares;

( )b) A quantidade de movimento é a razão da energia cinética pela velocidade de um corpo;

( )c) Essas duas grandezas não possuem nenhuma relação, pois uma é escalar e a outra é vetorial;

( )d) A energia cinética pode ser definida por meio da razão do quadrado da quantidade de movimento pelo dobro da massa do objeto;

( )e) A energia cinética pode ser definida por meio do produto do quadrado da quantidade de movimento pelo dobro da massa do objeto.

10. Um objeto desloca-se com momento linear igual a $\color{Indigo}{q = 50\,kg.m/s}$, mas choca-se com uma parede e gasta $\color{Indigo}{\Delta t = 0,02\,s}$ para parar. Por meio do teorema do impulso, determine o valor da força necessária para parar esse objeto.

( )a) 1000 N;

( )b) 1500 N;

( )c) 2000 N;

( )d) 2500 N;

( )e) 3000 N.

11. Um carro de massa igual a $\color{Indigo}{m = 1200\,Kg}$ desloca-se com velocidade igual a $\color{Indigo}{v_{o} = 36\,km/h}$. Quando o motorista acelera o veículo, passa a se movimentar com velocidade igual a $\color{Indigo}{v = 54\,Km/h}$. Se o tempo gasto para mudança de velocidade foi de $\color{Indigo}{\Delta t = 2\,s}$, determine a força resultante que agiu sobre o veículo.

( )a) 6000 N;

( )b) 5000 N;

( )c) 4000 N;

( )d) 3000 N;

( )e) 2000 N.

Se ficar com dúvidas, solicite ajuda por um dos canais listados abaixo.

Curitiba, 28 de março de 2020.

Décio Adams

[email protected]

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/decioadams.matfisonline