Física – Mecânica
Associação de molas
Molas em paralelo
Vejamos a figura que ilustra a situação.
Ao associar duas molas em paralelo, temos que levar em conta dois aspectos. Para funcionar adequadamente, convém que elas tenham o mesmo comprimento e também sejam de constantes elásticas aproximadamente iguais. Se elas tiverem os valores das constantes muito diferentes, precisaremos ajustar a posição da aplicação da força de tração ou compressão.
Observamos que ambas sofrem deformações iguais $\Delta L_{1} = \Delta L_{2}$. Uma mola equivalente deverá ter a constante elástica com valor igual à soma das constantes das molas associadas.
$ k_{e} = k_{1} + k_{2}$
Cada mola suporta uma parte da força:
$F_{1} = k_{1}\cdot\Delta L $
$F_{2} = k_{2}\cdot\Delta L$
$F = F_{1} + F_{2}$$\Leftrightarrow$$ F = k_{1}\cdot\Delta L + k_{2}\cdot\Delta L$
$\color{Blue}{F = (k_{1} + k_{2})\cdot\Delta L}$
Para o caso de associarmos várias molas, representaremos o número delas por $n$.
$\color{Brown}{F = \sum_{1}^n k_{n}\cdot \Delta L}$
Molas em série
Vejamos a figura ilustrativa.
A força aplicada F, atua igualmente sobre ambas as molas. A deformação total será a soma das deformações individuais.
$F = k_{1}\cdot\Delta L_{1}$$\Leftrightarrow$$ \Delta L_{1} = \frac{F}{k_{1}}$
$F = k_{2}\cdot\Delta L_{2}$$\Leftrightarrow$$\Delta L_{2} = \frac{F}{k_{2}}$
$F = k_{e}\cdot\Delta L$$\Leftrightarrow$$\Delta L = \frac{F}{k_{e}}$
$\Delta L = \Delta L_{1} + \Delta L_{2}$
$\frac{\not{F}}{k_{e}} = \frac{\not{F}}{k_{1}} + \frac{\not{F}}{k_{2}} $
$\frac{1}{k_{e}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$
Para um número qualquer de molas associadas:
$\color{Brown}{\frac{1}{k_{e}} = \sum_{1}^n \frac{1}{k}}$
Há ainda um detalhe a analisar sobre elasticidade. Especialmente de molas, mas também se aplica às demais situações.
Na aparência, depois de cessada a tensão deformante, o corpo retorna à sua forma original. Isso é apenas aproximadamente verdadeiro. Quem já não ouviu a afirmação de que as “molas estão cansadas”, pode ser no veículo, num estofado e em todas as situações em que se usa as deformações elásticas com finalidades práticas. O que significa esse tal cansaço? É denominado deformação residual.
Deformação residual
A cada deformação sofrida, o corpo elástico retém uma minúscula deformação residual. Sua dimensão é insuficiente para ser percebida individualmente. Mas, tal como muitos milhões de pequenos grãos de areia formam uma praia ou mesmo um deserto, a sucessão prolongada de deformações acaba por acumular uma deformação residual acumulada, que resulta no que se decidiu denominar fadiga. Fazendo uma comparação com uma pessoa, poderíamos dizer que é um estado comparável à exaustão da pessoa. Existem processos de eliminação dessas tensões acumuladas, visando devolver ao corpo sua elasticidade original ou pelo menos aproximar-se disso.
Vamos exercitar esse assunto
01. Um par de molas possuem cada uma comprimento $L_{0} = 0,45 m$ e seus coeficientes de elasticidade são iguais a $k = {700,0}N/m$. Associadas em paralelo e submetidas a uma força $F= {490,0}N}, qual é a deformação resultante?
$R_{e} = R + R = 2R$$\Leftrightarrow$$ R_{e} = 2\cdot{700,0} = 1400,0 N/m$
$F = k_{e}\cdot \Delta L$$\Leftrightarrow$$\Delta L = \frac{F}{k_{e}}$
$\Delta L = \frac{490,0}{1400,0}$$\Leftrightarrow$$\Delta L = 0,35 m$
$\color{Brown}{\Delta L = 0,35}$
02. Se associarmos as duas molas do exercício 01, mas em série, qual será o novo coeficiente de elasticidade e a deformação produzida por uma força de $F={210,0} N$.
$\frac{1}{k_{e}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$
$\frac{1}{k_{e}} = \frac{2}{k}$$\Leftrightarrow$$ k_{e} = \frac{k}{2}$
$\Delta L = \frac{F}{\frac{k}{2}}$$\Leftrightarrow$$\Delta L = \frac{210,0}{\left(\frac{700,0}{2}\right)}$
$\Delta L = \frac{210,0}{350,0}$$\Leftrightarrow$$\Delta L = 0,60 m$
$\color{Brown}{\Delta L = 0,60 m}$
A deformação de cada mola será igual à metade desse valor.
03. Um sistema de molas associada é formado com três molas de $k = {600,0}kgf/m$. Se elas são comprimidas de um comprimento inicial $L_{0}=0,60 m$ para $L_{1}= 0,45 m$, qual é a intensidade da força aplicada?
$k_{e} = 3\cdot k = 3\cdot {600,0}kgf/m$
$F = k_{e}\cdot \Delta L = {600,0}\cdot{0,15} = 90,0 kgf$
$\color{Brown}{F = 90,0 kgf}$
04. Associando em série três molas de constantes elásticas $k_{1}= {250,0}N/m$, $k_{2}={300,0} N/m$ e $k_{3} ={200,0} N\m$. Seus comprimentos iniciais são $L_{01} = {20,0} cm$, $L_{02} ={30,0} cm$ e $L_{03} = {25,0} cm$. Determine a constante elástica da mola equivalente, as deformações individuais das molas e a deformação total, produzidas por uma força de tração de $F = 50,0 N$.
$\frac{1}{k_{e}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{1}{k_{3}}$
$\frac{1}{k_{e}} = \frac{1}{250,0} + \frac{1}{300,0} + \frac{1}{200,0}$
$\frac{1}{k_{e}} = \frac{12 + 10 + 15}{3000,0}$$\Leftrightarrow$$\frac{1}{k_{e}} = \frac{37}{3000,0}$
$\color{Brown}{k_{e} = \frac{3000,0}{37}\simeq 81,08 N }$
$F = k_{e}\cdot \Delta L$$\Leftrightarrow$$50,0 = {81,08}\cdot \Delta L$
$\color{Brown}{\Delta L = \frac{50,0}{81,8}\simeq 0,617}$
As deformações individuais são:
$F = k_{1}\cdot \Delta L_{1}$$\Leftrightarrow$$50 = {250,0}\cdot\Delta L_{1}$
$\ color{Brown}{\Delta L_{1} = \frac{50,0}{250,0} = 0,2 m}$
$F = k_{2}\cdot\Delta L_{2}$$\Leftrightarrow$$ {50,0} = {300,0}\cdot\Delta L_{2}$
$\color{Brown}{\Delta L_{2} = \frac{50,0}{300,0} = \frac{1}{6}\simeq 0,617 m}$
$F = k_{3}\cdot\Delta L_{3}$$\Leftrightarrow$${50,0} = {200,0}\cdot\Delta L_{3}$
$\color{Brown}{\Delta L_{3} = \frac{50,0}{200,0} = 0,25 m}$
Podemos somar as deformações individuais e verificar se os valores conferem.
$\Delta L = \delta L_{1} + \Delta L_{2} + \Delta L_{3}$
$\Delta L = 0,20 + 0,167 + 0,25 = 0,617$$\Rightarrow$ deu o mesmo resultado.
Exercícios para resolver.
01. (UFG) Para proteção e conforto, os tênis modernos são equipados com amortecedores constituídos de molas. Um determinado modelo, que possui três molas idênticas, sofre uma deformação de 4 mm ao ser calçado por uma pessoa de 84 kg. Considerando-se que essa pessoa permaneça parada, a constante elástica de uma das molas será, em kN/m, de quanto?
02. (UPE) Um corpo de massa m está suspenso por duas molas ideais, paralelas, com constantes elásticas $k$ e deformadas de $\Delta L$. Sabendo que o sistema se encontra em equilíbrio, assinale a alternativa que expressa $k$. Dado: Considere a aceleração da gravidade g.
a)$k = \frac{2\cdot m\cdot g}{d}$;
b)$k =\frac{m\cdot g}{d}$;
c) $k =\frac{m\cdot g}{2\cdot d}$;
d)$k = \frac{2\cdot d}{m\cdot g}$;
e)$k = {m\cdot }g$.
03. Uma pessoa com massa de 80Kg está sobre uma plataforma cuja base é formada por 4 molas idênticas. Calcule a constante elástica das molas, sabendo que as molas sofreram deformação de 2cm.
O primeiro passo para resolver esse exercício é calcular a força peso sobre a plataforma. Feito isso, vamos dividir essa força por quatro, que é a quantidade de molas, ou seja, são quatro molas que exercem força elástica em direção oposta a força peso. A soma das quatro forças elásticas é igual a força peso.
04. Determine a constante elástica equivalente de uma associação de 5 molas, dispostas nos quatro cantos de um quadrado e uma no centro. Sobre elas repousa uma lâmina fina e resistente que serve de plataforma para apoiar os pés de uma pessoa. As dimensões do quadrado são $l = 40 cm$. Uma pessoa de massa $m = 70,0 kg$ está parada sobre a plataforma, produzindo uma deformação $\Delta L = 2 cm$. O peso da pessoa está uniformemente distribuído. Uma vez determinada a constante elástica equivalente, analise o valor das constantes elásticas individuais.
05. Você possui uma mola, cuja constante elástica é $k = {1800,0} N/m$. Se você a cortar em quatro partes iguais e associá-las em paralelo, Qual será a constante elástica equivalente dessa associação? Qual será a força capaz de produzir uma deformação $\Delta L = 5,0 cm$ na associação dessas quatro molas resultantes?
06. Uma mola de comprimento $l_{0} = 0,60 cm, é cortada em três pedaços iguais, resultando em três molas de mesma constante elástica. Depois associamos dois pedaços em paralelo e em série com o terceiro. Exprima a constante elástica equivalente dessa associação, em função do valor da constante da mola original.
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Curitiba, 31 de março de 2020
Décio Adams
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