FI.ME.013-02- Física – Mecânica, estática. Momento resultante, Teorema de Varignon.

By decioadams in Sem categoria 22 de outubro de 2017

Aplicações do Teorema de Varignon.

Vamos ver como podemos usar o Teorema de Varignon, na solução de vários problemas de estática. Esse assunto é especialmente útil na solução de problemas relativos a construção de estruturas de engenharia, na distribuição de cargas sobre os apoios, vigas e colunas. Não iremos tratar a fundo do assunto, pois isso cabe aos engenheiros, levando em conta algumas particularidades ainda fora do nosso alcance. Mas podemos ter uma pequena ideia de como funciona essa questão.

Seja uma viga uniforme, de peso $\color{Navy}{P = 50000\,N}$, apoiada sobre dois apoios $\color{Navy}{A}$ e $\color{Navy}{B}$, conforme mostra a figura abaixo. Sobre ela temos apoiados dois corpos nas posições indicadas. Determinar a intensidade das reações de apoio em $\color{Navy}{R_{A}}$ e $\color{Navy}{R_{B}}$.

Viga uniforme horizontal, com apoios. (1) — Viga horizontal uniforme, com apoios A e B.

Observando o sistema de forças presente no sistema, notamos que todas elas são verticais (mesma direção), sendo algumas dirigidas para baixo e outras para cima. Como a viga está em equilíbrio, temos que o sistema de forças tem resultante igual a zero. Vamos aplicar esse conceito.

$\color{Navy}{{R_{A}} + {R_{B}} – {P} – {P_{1}} – {P_{2}} = 0}$
$\color{Navy}{{R_{A}} + {R_{B}} – 50000 – 40000 – 25000 = 0}$
$\color{Navy}{{R_{A}} + {R_{B}} – 115000 = 0}$
$\color{Navy}{{R_{A}} + {R_{B}} = 115000}$
A soma das reações dos apoios A e B sobre a viga, é igual a soma dos pesos da viga e dos corpos apoiados sobre ela. Como conseguiremos saber qual o valor de cada uma das reações?

Temos um outro recurso de cálculo, que é o Teorema de Varignon. Vamos lembrar?

“O momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é igual a soma dos momentos das forças componentes em relação ao mesmo ponto”.

Vamos escolher um ponto qualquer como referência. Para facilidade de raciocínio, vamos adotar o ponto A. Como a resultante é nula, também o momento resultante é nulo. As forças peso tem em relação ao ponto A sentido horário e a reação no ponto B tem sentido anti-horário. Já a reação em A, também terá momento nulo, pois é aplicada no próprio ponto de rotação. Portanto teremos:

$\color{Navy}{\overline{M_{A}F_{R}} = \overline{R_{A}}\cdot 0 + \overline{R_{B}}\cdot 6,0 + \overline{P_{1}}\cdot 1,0 +\bar{P}\cdot 3,0 +\overline{P_{2}}\cdot 4,0}$
$\color{Navy}{{ 0\cdot x} = {0} + \overline{R_{B}}\cdot 6,0 +{-40000\cdot 1,0} +{-50000\cdot 3,0} + {-25000\cdot 4,00}}$
$\color{Navy}{{0} = \overline{R_{B}}\cdot 6,0 +{- 40000 – 150000 – 100000}}$
$\color{Navy}{{R_{B}}\cdot 6,0 – {310000} = 0}$
$\color{Navy}{{R_{B}} = {290000\over 6,0} = {48.333,33\,N}}$
$\color{Navy}{{R_{B}} = 48.333,33\,N}$

Como vimos acima.

$\color{Navy}{\overline{R_{A}} + \overline{R_{B}} = 115000\,N}$

Vamos substituir e determinar a reação em $\color{Navy}{R_{A}}$.

$\color{Navy}{\overline{R_{A}} + 48333,33 = 115000}$
$\color{Navy}{{R_{A}} =115000 – 48333,33}$
$\color{Navy}{{R_{A}} = 66.666,67\,N}$

Note que o apoio A suporta mais peso que o B, pois a carga maior está deslocada para o lado dela. Se a viga não fosse uniforme, o cálculo seria mais complexo, envolvendo métodos mais sofisticados do que esses que empregamos aqui. Vamos colocar isso em prática para os exercícios abaixo.