FI.ME.008-01 – Física – Mecânica, estática. Componentes ortogonais de um vetor.

By decioadams in Física 20 de outubro de 2017

Componentes ortogonais de um vetor.

Vimos que, para adicionarmos dois vetores com diferentes direções, podemos usar a fórmula geral deduzida no post anterior sobre o assunto. E se tivermos vários vetores, com diferentes direções?

Vejamos o exemplo da figura a seguir.

Vetores coplanares com diferentes direções. — Vetores coplanares, em direções diferentes, concorrentes no ponto de coordenadas $(0,0)$.

Temos três vetores, sendo dois com direções oblíquas em relação ao sistema de eixos $\color{Navy}{\widehat{ XOY}}$ e um terceiro coincidindo com o eixo $\color{Navy}{Y}$, no sentido negativo.
Assim como podemos encontrar o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si, podemos decompor um vetor dado, em dois vetores ortogonais, cuja soma seja igual ao vetor dado.

Vamos fazer essa operação para o vetor

$\color{Navy}{\vec{F_{1}}} $

Vetor decomposto em seus componentes ortogonais (1) — Vetor $\color{Navy}{\vec{F_{1}}}$ decomposto em suas componentes ortogonais $\color{Navy}{\vec{F_{1x}}\land \vec{F_{1y}}} $

O vetor $\color{Navy}{\vec{F_{1}}}$ é na verdade o vetor soma das suas componentes nos eixos $\color{Navy}{\bar{OX}}$ e $\color{Navy}{\bar{OY}}$. Temos um retângulo, do qual o vetor é a diagonal. O angulo que ele forma com o eixo $\color{Navy}{\bar{OX}}$, permite que apliquemos a trigonometria e encontremos:

$\color{Navy}{cos {a_{1}} = \frac {\overline{F_{1x}}}{\overline{F_{1}}}}$
$\color{Navy}{cos {a_{1}}\cdot \overline{F_{1}} = \overline{F_{1x}}}$
$\color{Navy}{\overline{F_{1x}} = \overline{F_{1}}\cdot {cos{a_{1}}}}$

Temos a componente no eixo $\color{Navy}{\bar{X}}$. Vamos determinar a expressão da componente no eixo $\color{Navy}{\bar{Y}}$.

$\color{Navy}{sen {a_{1}} = \frac {\overline{F_{1y}}}{\overline{F_{1}}}}$
$\color{Navy}{sen {a_{1}}\cdot \overline{F_{1}} = \overline{F_{1y}}}$
$\color{Navy}{\overline{F_{1y}} = \overline{F_{1}} \cdot sen{a_{1}}}$

Podemos notar que a componente do vetor no eixo $X$ é igual ao produto do módulo do vetor pelo cosseno do ângulo entre o vetor e esse eixo.

A componente no eixo Y é igual ao produto do módulo do vetor pelo seno do ângulo que o vetor forma com o eixo X.

Se pegarmos o vetor $\color{Navy}{\vec{F_{2}}}$ e aplicarmos o mesmo procedimento, o ângulo entre o vetor e o eixo $\color{Navy}{\overline{OX}}$ é $\color{Navy}{a_{2}}$.

Vamos ter agora:

$ \color{Navy}{\overline{F_{2x}} = \overline{F_{2}} \cdot cos {a_{2}}}$
$ \color{Navy}{\overline{F_{2y}} = \overline{F_{2}}\cdot sen {a_{2}}}$

Já o terceiro vetor coincide com a direção do eixo $ \color{Navy}{Y}$ e por isso sua componente no eixo $ \color{Navy}{X}$ é nula. Diante disso podemos redesenhar o sistema de vetores, apenas com as componentes ortogonais. Veja como fica:

Sistema de vetores com suas componentes ortogonais. — Um sistema de vetores representado pelas componentes ortogonais dos vetores que formam o sistema.

O sistema agora é formado por componentes nas direções dos eixos ortogonais $\ \color{Navy}{\widehat{XOY}}$. A resolução, a partir daí, se reduz a determinar a resultante $ \color{Navy}{\vec{F_{x}} \land \vec{F_{y}}}$

Estas duas componentes formam um sistema de dois vetores ortogonais, onde será aplicado o Teorema de Pitágoras para obter o vetor soma, bem como a sua direção.

No eixo $ \color{Navy}{\overline{OX}}$, temos as componentes $ \color{Navy}{\overline{F_{1x}} \land \overline{F_{2x}}}$, que tem sentidos opostos. Em consequência a componente horizontal do sistema será:

$ \color{Navy}{\overline{F_{x}} =\overline{F_{1x}} – \overline{F_{2x}}}$

No eixo $ \color{Navy}{\overline{OY}}$, temos as componentes $ \color{Navy}{\overline{F_{1y}}, \overline{F_{2y}} \land \overline{F_{3}}} $

As duas primeiras têm sentido positivo e a última sentido negativo. A componente resultante será:

$ \color{Navy}{\overline{F_{y}} = \overline{F_{1y}} + \overline{F_{2y}} – \overline{F_{3}}}$

Como o sistema é ortogonal o vetor resultante será:

$ \color{Navy}{\bar{F^2} = \overline{F_{x}}^2 + \overline{F_{y}}^2 }$

O ângulo entre o vetor resultante e o eixo $ \color{Navy}{\bar{OX}}$, será dado pela expressão:

$ \color{Navy}{tg\beta = \frac {\overline{F_{y}}}{\overline{F_{x}}}}$

É portanto simples resolver a adição de um sistema com um número qualquer de componentes, utilizando o processo de decomposição desses componentes em componentes ortogonais. Sempre resultará no final um sistema com dois vetores ortogonais. Bastará aplicar o Teorema de Pitágoras e teremos o vetor soma. Dividindo a componente $\color{Navy}{Y}$ pela $\color{Navy}{X}$, obtemos a tangente do ângulo em relação ao eixo $\color{Navy}{X}$.

Este procedimento é extremamente útil em qualquer caso de grandezas vetoriais dentro de toda a disciplina de física.

Vejamos alguns exercícios.

Exercício um — Forças concorrentes no ponto de coordenadas $(0,0)$.

1. Os vetores tem módulos de:
- $\color{Navy}{\vec{F_{1}} = 8 un}$
- $\color{Navy}{\vec{F_{2}} = 4\sqrt 2 un}$
- $\color{Navy}{\vec{F_{3}} = 5 un}$
- 2. Os vetores têm módulos de:
- $\color{Navy}{\vec{F_{1}} = 10 un}$
Exercício dois lI
- $\color{Navy}{\vec{F_{2}} = 8 un}$
- $\color{Navy}{\vec{F_{3}} = 4 un}$
- $\color{Navy}{\vec{F_{4}} = 6 un}$
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