FI.ME.009-01 – Física – Mecânica, estática. Adição de vetores oblíquos.

By decioadams in Física 20 de outubro de 2017

Adição de vetores oblíquos.

Já vimos como adicionar vetores de mesma direção e sentido, mesma direção e sentidos opostos, vetores ortogonais, onde a solução é usar o velho conhecido Teorema de Pitágoras.

Podemos observar que as retas que contém os segmentos formadores dos vetores $\vec{F_{1}}$ e $\vec{F_{2}}$ , tem um ponto em comum, isto é se interceptam em um ponto que denominaremos de O (origem) ou ponto de aplicação.

Para iniciar o raciocínio, vamos traspor os esses vetores sobre as suas retas suporte a partir do ponto de interseção O, formando os lados de um ângulo $< \hat{A O C}$ , com vértice em O. Isso é considerado como um “deslizamento” do vetor sobre a própria reta suporte ou retas paralelas, até a coincidência das origens.

Adição de vetores oblíquos. l (1) — Vetores formando um ângulo qualquer, e retas paralelas passando pelas extremidades. Formam um paralelogramo.

Depois traçamos duas retas paralelas as retas originais passando pelas extremidades A e C dos vetores. Essas se interceptam no ponto B, o vértice do paralelogramo $\hat{O A B C O}$ .

Unindo os vértices opostos O e B, teremos o vetor soma $\vec{F}$ , dos vetores $\vec{F_{1}}$ e $\vec{F_{2}}$ . Imagine que eles representem dois deslocamentos. Se percorrermos o segmento $\overset{―}{O A}$ , depois $\overset{―}{A B}$ , chegaremos à extremidade do vetor soma. Igualmente se percorrermos o segmento $\overset{―}{O C}$ e depois $\overset{―}{C B}$ , iremos chegar ao mesmo ponto B, extremidade do vetor soma $\vec{F}$ ou, $\vec{O B}$ . Vejamos como fica nosso desenho agora.

Adição de vetores oblíquos. l (2) — Resolução gráfica da soma dos vetores $v e c F_{1}$ e $v e c F_{2}$ .

Temos agora a solução gráfica do problema. Falta aplicar os conhecimentos de geometria e trigonometria para determinar o valor numérico do vetor soma $\vec{F}$ . Note que os segmentos $\overset{―}{O C}$ e $\overset{―}{A B}$ são congruentes, assim como $\overset{―}{O A}$ e $\overset{―}{B C}$ , por se tratar de lados opostos do paralelogramo.

Vamos traçar, a partir de B, um segmento perpendicular à reta que contém o vetor $\vec{F_{1}}$ , no ponto $D$ . Serão formados os triângulos retângulos $\nabla \hat{O D B O}$ e $\nabla \hat{A D B A}$ . Os ângulos $< \hat{C O A}$ e $< \hat{B A D}$ são congruentes, pois são colaterais internos.

Adição de vetores oblíquos. l (4) — Desenvolvimento com introdução de artifícios para efeito de raciocínio.

Aplicamos o teorema de pitágoras ao $\nabla \hat{O D B O}$ . Temos a hipotenusa $\bar{F}$ , o cateto $\overset{―}{O D}$ formado pela soma de $\vec{F_{1}}$ com o segmento $\overset{―}{A D}$ (x) e o cateto $\overset{―}{O C^{'}}$ $(y)$ , formando dois triângulos retângulos a saber:

$\nabla \hat{O D B O}$
$\nabla \hat{A D B A}$
$F^{2} = {\overset{―}{B D}}^{2} + {[\overset{―}{F_{1}} + \overset{―}{A D}]}^{2}$
$F^{2} = y^{2} + 2 \cdot \overset{―}{F_{1}} \cdot \bar{x} + {\bar{x}}^{2}$

Obtemos uma expressão com elementos estranhos introduzidos $x, y$ e precisamos eliminá-los. Para isso vamos aplicar agora o mesmo teorema de Pitágoras ao segundo triângulo retângulo.

$\nabla \hat{A D B A}$ , onde a hipotenusa é o vetor $\vec{F_{2}}$ , e os catetos são $x, y$ , obtendo
- ${\overset{―}{F_{2}}}^{2} = {\bar{x}}^{2} + {\bar{y}}^{2}$

A soma $x^{2} + y^{2}$ poderá ser substituída por ${\overset{―}{F_{2}}}^{2}$ .

${\bar{F}}^{2} = {\bar{y}}^{2} + {\bar{x}}^{2} + 2 \cdot \overset{―}{F_{1}} \cdot \bar{x}$
${\bar{F}}^{2} = {\overset{―}{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \overset{―}{F_{1}} \cdot x$

Observando a expressão ainda resta um $x$ que precisamos remover. Para isso recorremos à trigonometria. Ali encontramos que o “cateto adjacente a um ângulo, dividido pela hipotenusa, nos fornece o cosseno desse ângulo. Assim temos:

$c o s α = \frac{\bar{x}}{\overset{―}{F_{2}}}$
$c o s α \cdot \overset{―}{F_{2}} = \bar{x}$

Poderemos agora substituir $x$ na expressão e o módulo do vetor resultante expresso em função de $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ e do cosseno do ângulo entre os vetores ficará assim:

$\bar{F_{R}^{2}} = {\overset{―}{F_{1}}}^{2} + {\overset{―}{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \overset{―}{F_{1}} \cdot \overset{―}{F_{2}} \cdot c o s α$ .

Agora vamos determinar a direção do vetor $\vec{F}$ . Observando o ângulo $< \hat{B O D}$ , vemos que ele tem como cateto oposto o segmento $\overset{―}{B D} = \bar{y}$ e $\overset{―}{O D} = \overset{―}{F_{1}} + \overset{―}{A D}$ é o cateto adjacente. Da trigonometria sabemos que o “cateto oposto dividido pelo adjacente, nos fornece a tangente do ângulo. Vamos denominar o ângulo $< \hat{B O D}$ pela letra grega $β$ e teremos:

$t g β = \frac{y}{F_{1} + x}$

Substituindo $x$ na expressão por $c o s α \cdot F_{2}$ , temos:

$t g β = \frac{\bar{y}}{\overset{―}{F_{1}} + \overset{―}{F_{2}} \cdot c o s α}$

Resta o $y$ no numerador. Observemos no $\nabla \hat{A D B A}$ , o lado $\overset{―}{B D} = \bar{y}$ , é cateto oposto ao ângulo e $\vec{F_{2}}$ é a hipotenusa. Da trigonometria vem “cateto oposto dividido pela hipotenusa, é igual ao seno do ângulo”. Então:

$s e n α = \frac{\bar{y}}{\overset{―}{F_{2}}}$

Isolando $\bar{y}$ , temos:

$\bar{y} = s e n α \cdot \overset{―}{F_{2}}$

Substituindo na expressão da tangente de $β$ , temos:

$t g β = \frac{\overset{―}{F_{2}} \cdot s e n α}{F_{1} + F_{2} \cdot c o s α}$

Se nossas deduções estiverem corretas, essas fórmulas deverão ser aplicáveis para a adição de qualquer par de vetores, com qualquer ângulo entre eles. Vamos conferir.

Se $α = 0^{0}$ , iremos encontrar na trigonometria que o $c o s α = 1$

Substituindo na fórmula do módulo do vetor resultante, temos:

${\bar{F_{R}}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}} \cdot c o s α$
${\bar{F}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}} \cdot 1$

Resultou no segundo membro um trinômio quadrado perfeito, que podemos fatorar no quadrado da soma de $\bar{F_{1}}$ e $\bar{F_{2}}$ , ficando pois:

${\bar{F_{R}}}^{2} = {\bar{F_{1}} + \bar{F_{2}}}^{2}$

Os dois membros da equação são quadrados perfeitos e podemos extrair a raiz quadrada, ficando:

. ${\sqrt{\bar{F_{R}}}}^{2} = \sqrt{{\bar{F_{1}} + \bar{F_{2}}}^{2}}$

$\bar{F_{R}} = \bar{F_{1}} + \bar{F_{2}}$

Isso confere com o que vimos quando falamos da adição de vetores de mesma direção e sentido. O Vetor soma é a soma dos módulos dos vetores. A direção é a mesma dos vetores somados.

Se o angulo $α = 90^{0}$ $s e n 90 º = 1$ e o $c o s 90 º = 0$ , substituindo na mesma fórmula, temos.
${\bar{F}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}} \cdot c o s 90 º$
${\bar{F}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}} \cdot 0$

Um termo multiplicado por 0(zero), é nulo e resta.

${\bar{F_{R}}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2}$

Expressão que é o Teorema de Pitágoras aplicado para esse caso.

Se o angulo $α = 180 º$ , temos $s e n 180^{0} = 0$ e $c o s 180^{0} = - 1$ . Vamos substituir na equação.
${\bar{F_{R}}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}} \cdot c o s 180^{0}$
${\bar{F_{R}}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} + 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}} \cdot - 1$

${\bar{F_{R}}}^{2} = {\bar{F_{1}}}^{2} + {\bar{F_{2}}}^{2} - 2 \cdot \bar{F_{1}} \cdot \bar{F_{2}}$

Novamente resultou um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado no quadrado da diferença. Assim:

${\bar{F_{R}}}^{2} = (\bar{F_{1}} - \bar{F_{2}})^{2}$

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, resulta:

$\bar{F_{R}} = \bar{F_{1}} - \bar{F_{2}}$

O que nos dá a diferença entre os vetores de mesma direção e sentidos opostos. Dessa forma fica demonstrado que a expressão obtida acima é válida para qualquer ângulo entre dois vetores. Com certeza nos casos particulares fica mais fácil aplicar a forma simplificada. Mas se usarmos a fórmula geral obteremos o mesmo resultado.

Para exercitar um pouco, vamos calcular a soma dos vetores:
- $\vec{V_{a}} = 5 u n$ e $\vec{V_{b}} = 10 u n$ . Considere o ângulo entre eles $30^{0}, 45^{0} e 60^{0}$ .
- $\vec{F_{1}} = 6 N$ . $\vec{F_{2}} = 8 N$ . Ângulos de $60^{0}, 120^{0}$ .
- $\vec{M_{1}} = 12 u n$ e $\vec{M_{2}} = 15 u n$ , para ângulos de $30^{0} e 150^{0}$ .
- $\vec{N_{1}} = 12 u n$ e $\vec{N_{2}} = 16 u n$ , para ângulo de $0^{0}, 90^{0} e 180^{0}$ .